ZU DEN KURSEN!

Technische Mechanik 2: Elastostatik - Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen

Kursangebot | Technische Mechanik 2: Elastostatik | Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen

Technische Mechanik 2: Elastostatik

Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen

Die axialen Flächenträgheitsmomente $I_{y}$, $I_{z}$ und das Deviationsmoment $I_{yz}$ sind - wie in den voherigen Abschnitten gezeigt - zunächst auf ein beliebiges Koordinatensystem bezogen. Bei Drehung des Koordinatensystems um den Schwerpunkt - Koordinatentransformation - ändern sich alle drei Flächenträgheitsmomente. Es gibt eine bestimmte Stellung des Koordinatensystems bei welcher die axialen Flächenträgheitsmomente ihr Maximum bzw. Minimum annehmen. Das Deviationsmomente verschwindet in diesem Fall. Nehmen die Flächenträgheitsmomente ihr Maximum an, so ist die Rede von Hauptträgheitsmomenten $I_1$ und $I_2$. 

Wir betrachten zunächst den Trägheitstensor:

$\overline{I} =
\begin{bmatrix}
I_{y} & I_{yz}  \\
I_{yz} & I_{z}  
\end{bmatrix}
$

Wird das Achsensystem so gedreht, dass das Deviationsmoment verschwindet, so befinden sich nur noch die axialen Flächenträgheitsmomente $I_{y}$ und $I_{z}$ im Trägheitstensor. Wir können dann das Eigenwertproblem heranziehen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$det (\overline{I} - IE) = 0$

 

Hierbei ist $E$ die Einheitsmatrix:

$E = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{bmatrix}
$

 

Einsetzen in die Formel:

$det (\overline{I} = \begin{bmatrix} I_{y} & I_{yz}  \\ I_{yz} & I_{z}  \end{bmatrix} - I \begin{bmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}) = 0$

$det (\overline{I} = \begin{bmatrix} I_{y} & I_{yz} \\ I_{yz} & I_{z} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} I & 0 \\0 & I \end{bmatrix}) = 0$

$det (\overline{I} = \begin{bmatrix} I_{y} - I & I_{yz} \\ I_{yz} & I_{z} - I \end{bmatrix}) = 0$

 

Bestimmung der Determinante:

$(I_{y} - I) \cdot (I_{z} - I ) -  I_{yz}^2 = 0$

 

Auflösen der Klammern:

$I_{y}I_{z} - I_{y} I - I_{z} I + I^2 - I_{yz}^2 = 0$

 

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Normalform einer quadratischen Funktion: $f(x)=a \cdot x^2+b \cdot x+c$

 

Die obige quadratische Gleichung in die Normalform überführen (wobei $I = x$):

$I^2  - I_{y} I - I_{z} I + I_{y}I_{z} - I_{yz}^2 = 0$

Zusammenfassen:

$I^2 - (I_{y} + I_{z}) I + I_{y}I_{z} - I_{yz}^2 = 0$

 

Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion entsprechen den Hauptträgheitsmomenten. Die Nullstellen können mit der p/q-Formel berechnet werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$I_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$           p/q-Formel

 

Hierbei ist $p = -(I_{y} + I_{z})$           Abhängig von $I$

$q = I_{y}I_{z} - I_{yz}^2$                  Unabhängig von $I$

 

Einsetzen in die p/q-Formel:

$I_{1,2} = - \frac{-(I_{y} + I_{z})}{2} \pm \sqrt{(\frac{-(I_{y} + I_{z})}{2})^2 - (I_{y}I_{z} - I_{yz}^2)}$

$I_{1,2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{I_{y} + I_{z}}{2})^2 - I_{y}I_{z} + I_{yz}^2}$

 

Die obige Gleichung kann noch weiter zusammengefasst werden. Dazu ziehen wir den Nenner 2 unter der Wurzel aus dem Quadrat heraus:

$I_{1,2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{4} (I_{y} + I_{z})^2 - I_{y}I_{z} + I_{yz}^2}$

 

Danach wird die Klammer mittels 1. Binomischer Formel aufgelöst:

$I_{1,2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{4} (I_{y}^2 + 2I_{y} I_{z} + I_{z}^2) - I_{y}I_{z} + I_{yz}^2}$

 

Terme in die Klammer ziehen:

$I_{1,2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{4} (I_{y}^2 + 2I_{y} I_{z} + I_{z}^2 - 4I_{y}I_{z} + 4I_{yz}^2)}$

 

Zusammenfassen:

$I_{1,2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{4} (I_{y}^2 - 2I_{y} I_{z} + I_{z}^2 + 4I_{yz}^2)}$

 

Anwendung der 2. Binomischen Formel auf die ersten drei Summanden unter der Wurzel:

$I_{1,2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{4} (I_{y} -  I_{z})^2 + I_{yz}^2)}$

 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$I_{1,2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{I_{y} - I_{z}}{2})^2 + I_{yz}^2)}$

 Hierbei stehen $ I_1 $ und $ I_2 $ für die Extremwerte der axialen Flächenträgheitsmomente.

 

Der Hauptwinkel $\alpha^*$, um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss damit die Hauptträgheitsmomente auftreten, beträgt (Herleitung siehe Abschnitt Hauptspannungen):

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 I_{yz}}{(I_{y} - I_{z})} $

 

Merke

Hier klicken zum AusklappenDas Deviationsmoment $I_{yz}$ hingegen verschwindet im TrägheitsHauptachsensystem. 

Merke

Hier klicken zum AusklappenDas polare Trägheitsmoment ist invariant gegenüber einer Drehung des Bezugssystems und hat die Form:

$\ I_P = I_{\xi\xi} + I_{\eta\eta} = I_{y} + I_{z} = I_1 + I_2 $  

$\\$

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Zusammenfassung

Hauptrichtung: $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 I_{yz}}{(I_{y} - I_{z})} $

Hauptträgheitsmoment: $\ I_{1/2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{I_{y} - I_{z}}{2})^2 + I^2_{yz}} $

1. Invariante: $I_P = I_{\xi\xi} + I_{\eta\eta} = I_{y} + I_{z} = I_1 + I_2 $  

Hauptachsen

Die Hauptachsen sind diejenigen Achsen, für welche die Flächenträgheitsmomente ihre Extremwerte annehmen. Achsen, die durch den Schwerpunkt verlaufen und für die das Deviationsmoment verschwindet, werden als Hauptachsen bezeichnet.

Liegen doppelt symmetrische Querschnitte vor, so sind die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen identisch. Bei einfach symmetrischen Querschnitten ist die eine Symmetrieachse eine Hauptachse und die dazu senkrecht stehende durch den Schwerpunkt verlaufende Achse ebenfalls eine Hauptachse.

Betrachten wir ein $y,z$-Koordinatensystem, welches durch den Schwerpunkt einer Querschnittsfläche verläuft. Doppelt symmetrische Querschnitte in Bezug auf dieses Koordinatensystem sind dann Rechtecke, Quadrate oder Kreise, weil beide Achsen Symmetrieachsen darstellen. Sowohl die $y$- als auch die $z$-Achse sind Hauptachsen des Querschnitts.

Einfach symmetrische Querschnitte sind u.a. ein gleichschenkliges Dreieck oder ein gleichschenkliges Trapez, weil die $z$-Achse eine Symmetrieachse darstellt und die $y$-Achse nicht. Auch hier sind beide Achsen Hauptachsen, weil die senkrecht zur Symmetrieachse stehende Achsen ebenfalls eine Hauptachse darstellt. In diesem Fall steht die $y$-Achse senkrecht zur $z$-Achse.

Für unsymmetrische Querschnitte bezüglich der $y,z$-Achsen (z.B. ein L-Träger) können die Hauptachsen über die Drehung des $y,z$-Koordinatensystems bestimmt werden. Die Drehung erfolgt über den Winkel $\alpha^*$, welcher auch als Hauptrichtung bezeichnet wird. Ergibt sich ein positiver Winkel, so muss das $y,z$-Koordinatensystem mit einer Linksdrehung um den Winkel gedreht werden. Ergibt sich ein negativer Winkel, so erfolgt die Winkelabtragung in einer Rechtsdrehung.

Anwendungsbeispiel: Hauptträgheitsmomente

Rechteck

Der obige rechteckige Querschnitt eines Balkens hat die Flächenträgheitsmomente:

$I_y = \frac{a^3b}{12}$

$I_z =  \frac{b^3a}{12}$

$I_{yz} = 0$.

Das bedeutet die Flächenträgheitsmomente sind auch gleichzeitig die Hauptträgheitsmomente, da das Deviationsmoment $I_{yz} = 0$ ist. Das liegt daran, dass mindestens eine Achse eine Symmetrieachse darstellt. In diesem Fall stellen beide Achsen eine Symmetrieachse dar. Es handelt sich also um ein doppelt symmetrischen Querschnitt. Die $y,z$-Achsen sind demnach auch gleichzeitig Hauptachsen des Querschnitts. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Ein Körper ist achsensymmetrisch, wenn dieser an der Achse gespiegelt werden kann.

Anwendungsbeispiel 2: Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen

Gegeben sei ein Balken mit folgendem Querschnitt:

Hauptachsen Dreieck

Es ist deutlich zu erkennen, dass weder die $z$-Achse noch die $y$-Achse Symmetrieachsen darstellen. Demnach sind diese Achsen keine Hauptachsen und es handelt sich um einen asymmetrischen Querschnitt bezüglich der $y,z$- Achsen. Es sollen im Folgenden die Hauptträgheitsmomente und die zugehörigen Hauptachsen bestimmt werden.

Zunächst müssen die Flächenträgheitsmomente bezüglich der $y,z$-Achsen bestimmt werden. Die Formel kann dem folgenden Abschnitt entnommen werden: Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte.

$I_y = \frac{6cm \cdot (9cm)^3}{36} = 121,5 cm^4$

$I_z =  \frac{9cm \cdot (6cm)^3}{36} = 54 cm^4$

$I_{yz} = \frac{(6cm)^2 \cdot (9 cm)^2}{72} = 40,5 cm^4$.


Die Hauptträgheitsmomente können mit der folgenden Formel bestimmt werden:

$\ I_{1/2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{I_{y} - I_{z}}{2})^2 + I^2_{yz}} $

$\ I_{1/2} = \frac{121,4 cm^4 + 54 cm^4}{2} \pm \sqrt{(\frac{121,5 cm^4 - 54 cm^4}{2})^2 + (40,5 cm^4)^2} $

$\ I_{1/2} = 87,7 cm^4 \pm 52,72 cm^4$

$\ I_1 = 140,42 cm^4$

$\ I_2 = 34,98 cm^4$


Es kann als nächstes die Hauptrichtung bestimmt werden. Hierbei handelt es sich um die Drehung des $y,z$-Koordinatensystems um einen Winkel, bei welchem die Flächenträgheitsmomente ihren Extremwert annehmen. Die dazugehörigen Achsen bezeichnet man als Hauptachsen:

$\tan (2\alpha^*) = \frac{2 I_{yz}}{(I_{y} - I_{z})} $

$\tan (2\alpha^*) = \frac{2 \cdot 40,5 cm^4}{(121,5cm^4 - 54cm^4)} $

$2\alpha^* = \tan^{-1} [\frac{2 \cdot 40,5 cm^4}{(121,5cm^4 - 54cm^4)}]$

$\alpha^* = 25,1°$

Es handelt sich um einen positiven Winkel, also erfolgt die Drehung um 25,1° in Linksrichtung:

Hauptachsen rechtwinkliges Dreieck

 

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Über die Hauptachsen wird in späteren Abschnitten bestimmt, ob eine einachsige oder zweiachsige Biegung vorliegt.