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Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente:

Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Bei Momenten lassen sich, wie bei Spannungen, Winkelstellungen finden unter denen die axialen Flächenträgheitsmomente ihr Maximum bzw. Minimum annehmen. Die Momente in diese Richtungen stehen senkrecht aufeinander und werden Hauptträgheitsmomente $I_1, I_2$ genannt. 

Es gilt demnach: $\ I_{\xi\xi}, I_{\xi\eta}, I_{\eta\eta} \rightarrow I_1 , I_2 $ 


Hierbei stehen $ I_1 $ und $ I_2 $ für die Extremwerte der axialen Flächenträgheitsmomente.

$ I_{\xi\xi}, I_{\xi\eta},I_{\eta\eta} $ stellen die bereits bekannten Trägheitsmomente und das Deviationsmoment dar. 


Ferner gilt die Bedingung 

$\frac{dI_{\xi\xi}}{d\alpha} = 0 $

aus welcher sich der Winkel der Hauptträgheitsachsen (=Hauptachsen) herleiten lässt. Also:

$\tan (2\alpha^*) = \frac{2 I_{yz}}{(I_{y} - I_{z})} $

Und letztlich auch die beiden Hauptträgheitsmomente $ I_{1}, I_{2} $:

$\ I_{1/2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{I_{y} - I_{z}}{2})^2 + I^2_{yz}} $

$\\$

Merke

Das Deviationsmoment $I_{yz}$ hingegen verschwindet im Trägheitshauptachsensystem. 

Merke

Das polare Trägheitsmoment ist invariant gegenüber einer Drehung des Bezugssystems und hat die Form:

$\ I_P = I_{\xi\xi} + I_{\eta\eta} = I_{y} + I_{z} = I_1 + I_2 $  

$\\$

Methode

Zusammenfassung

Hauptrichtung: $\tan (2\alpha^*) = \frac{2 I_{yz}}{(I_{y} - I_{z})} $

Hauptträgheitsmoment: $\ I_{1/2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{I_{y} - I_{z}}{2})^2 + I^2_{yz}} $

1. Invariante: $I_P = I_{\xi\xi} + I_{\eta\eta} = I_{y} + I_{z} = I_1 + I_2 $  

Hauptachsen

Die Hauptachsen sind diejenigen Achsen, für welche die Flächenträgheitsmomente ihre Extremwerte annehmen. Achsen, die durch den Schwerpunkt verlaufen und für die das Deviationsmoment verschwindet, werden als Hauptachsen bezeichnet. Liegen doppelt symmetrische Querschnitte vor (z.B. Rechteck, Kreis), so sind die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen identisch. Bei einfach symmetrischen Querschnitten (z.B. Trapez, T-Träger) ist die eine Symmetrieachse eine Hauptachse und die dazu senkrecht stehende durch den Schwerpunkt verlaufende Achse ebenfalls eine Hauptachse. Für unsymmetrische Querschnitte können die Hauptachsen dann bestimmt werden, indem die Hauptrichtung $alpha^*$ bestimmt wird. Ergibt sich ein positiver Winkel, so muss das $y,z$-Koordinatensystem mit einer Linksdrehung um den Winkel gedreht werden. Ergibt sich ein negativer Winkel, so erfolgt die Winkelabtragung in einer Rechtsdrehung.

Anwendungsbeispiel: Hauptträgheitsmomente

Haupträgheitsmomente Rechteck

Der obige rechteckige Querschnitt eines Balkens hat die Flächenträgheitsmomente:

$I_y = \frac{a^3b}{12}$

$I_z =  \frac{b^3a}{12}$

$I_{yz} = 0$.

Das bedeutet die Flächenträgheitsmomente sind auch gleichzeitig die Hauptträgheitsmomente, da das Deviationsmoment $I_{yz} = 0$ ist. Das liegt daran, dass mindestens eine Achse eine Symmetrieachse darstellt. In diesem Fall stellen beide Achsen eine Symmetrieachse dar. Es handelt sich also um ein doppelt symmetrischen Querschnitt. Die $y,z$-Achsen sind demnach auch gleichzeitig Hauptachsen des Querschnitts. 

Merke

Ein Körper ist achsensymmetrisch, wenn dieser an der Achse gespiegelt werden kann.

Anwendungsbeispiel 2: Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen

Gegeben sei ein Balken mit folgendem Querschnitt:

Hauptachsen Dreieck

Es ist deutlich zu erkennen, dass weder die $z$-Achse noch die $y$-Achse Symmetrieachsen darstellen. Demnach sind diese Achsen keine Hauptachsen und es handelt sich um einen asymmetrischen Querschnitt bezüglich dieser Achsen. Es sollen im Folgenden die Hauptträgheitsmomente und die zugehörigen Hauptachsen bestimmt werden.

Zunächst müssen die Flächenträgheitsmomente bezüglich der $y,z$-Achsen bestimmt werden. Die Formel kann dem folgenden Abschnitt entnommen werden: Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte.

$I_y = \frac{6cm \cdot (9cm)^3}{36} = 121,5 cm^4$

$I_z =  \frac{9cm \cdot (6cm)^3}{36} = 54 cm^4$

$I_{yz} = \frac{(6cm)^2 \cdot (9 cm)^2}{72} = 40,5 cm^4$.


Die Hauptträgheitsmomente können mit der folgenden Formel bestimmt werden:

$\ I_{1/2} = \frac{I_{y} + I_{z}}{2} \pm \sqrt{(\frac{I_{y} - I_{z}}{2})^2 + I^2_{yz}} $

$\ I_{1/2} = \frac{121,4 cm^4 + 54 cm^4}{2} \pm \sqrt{(\frac{121,5 cm^4 - 54 cm^4}}{2})^2 + (40,5 cm^4)^2} $

$\ I_{1/2} = 87,7 cm^4 \pm 52,72 cm^4$

$\ I_1 = 140,42 cm^4$

$\ I_2 = 34,98 cm^4$


Es kann als nächstes die Hauptrichtung bestimmt werden. Hierbei handelt es sich um die Drehung des $y,z$-Koordinatensystems um einen Winkel, bei welchem die Flächenträgheitsmomente ihren Extremwert annehmen. Die dazugehörigen Achsen bezeichnet man als Hauptachsen:

$\tan (2\alpha^*) = \frac{2 I_{yz}}{(I_{y} - I_{z})} $

$\tan (2\alpha^*) = \frac{2 \cdot 40,5 cm^4}{(121,5cm^4 - 54cm^4)} $

$2\alpha^* = \tan^{-1} [\frac{2 \cdot 40,5 cm^4}{(121,5cm^4 - 54cm^4)}]$

$\alpha^* = 25,1°$

Es handelt sich um einen positiven Winkel, also erfolgt die Drehung um 25,1° in Linksrichtung:

Hauptachsen rechtwinkliges Dreieck

Bei den Hauptachsen ist für die spätere Bestimmung relevant, ob es sich um eine einachsige bzw. gerade Biegung oder zweiachsige bzw. schiefe Biegung handelt.

Multiple-Choice
Ein Körper ist achsensymmetrisch, wenn dieser an der Achse gespiegelt werden kann. Richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 2: ElastostatikTechnische Mechanik 2: Elastostatik
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