Differentialgleichung der Biegelinie

Wirken äußere Momente und/oder Querkräfte auf den Balken, so führt dies zu einer Verformung der Balkenachse aufgrund des auftretenden Moments um die $y$-Achse. Diese Verformung wird als Biegelinie $w(x)$ bezeichnet. 

Balkenverformung

In der obigen Grafik erfolgt die Durchbiegung des Balkens aufgrund einer äußeren Streckenlast in $z$-Richtung. Es handelt sich hier also um eine Querkraftbiegung, welche ein Moment um die $y$-Achse zur Folge hat. Wir wollen nun die Differentialgleichung der Biegelinie $w(x)$ herleiten.

Wir gehen im Folgenden von der Gültigkeit der Normalenhypothese von Bernoulli, sowohl bei reiner als auch bei Querkraftbiegung, aus. Liegt also Querkraftbiegung vor, können wir den Anteil der Durchbiegung infolge der Schubverformung vernachlässigen (folgt im nachfolgenden Kurstext).

Im Abschnitt der reinen Biegung haben wir die folgenden Zusammenhänge bestimmt:

$\sigma_x = \frac{E}{p} z $  und $\sigma_x = \frac{M_y}{I_y}z$

Gleichsetzen führt auf:

$\frac{1}{p} = \frac{M_y}{EI_y}$

Der Kehrwert des Krümmungsradius ist die Krümmung:

$\frac{1}{p} = \kappa = \frac{M_y}{E I_y}$

Bei der Querkraftbiegung - im Gegensatz zur reinen Biegung - ist das Moment veränderlich, also abhängig von $x$ und damit nicht konstant. Liegt also Querkraftbiegung vor, so ändert sich das Moment für jeden Schnitt. Das wiederum hat zur Folge, dass die Krümmung der Biegelinie ebenfalls veränderlich, also abhängig von $x$, ist:

Krümmung ebener Kurve

In der obigen Grafik ist die Kurve $y(x)$ gegeben. Der Kreis weist dieselbe Krümmung wie die Kurve $y(x)$ in diesem Punkt (blau) auf. Damit ergibt sich dann der Krümmungsradius $p$ der Kurve in diesem Punkt, welcher identisch ist mit dem Krümmungsradius des Kreises in diesem Punkt.

Für die Krümmung $\kappa = \frac{1}{p}$ einer ebenen Kurve gilt die allgemeine Gleichung:

$\kappa = \pm \frac{y''}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$

mit

$y' = \frac{dy}{dx}$ und $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$

Wir müssen nun noch klären, welches Vorzeichen für $\pm$ in unserem Fall mit $w(x)$ als Funktion verwendet werden muss. Ein positives Moment (Linksdrehung um die $y$-Achse) erzeugt eine nach unten gekrümmte Balkenachse (beachte: die $z$-Achse ist im Gegensatz zur obigen $y$-Achse nach unten gerichtet):

Krümmung der Biegelinie

Unter Beachtung des Koordinatensystems ($z$-Achse nach unten gerichtet) ergibt sich eine Rechtskrümmung.

Bei einer Rechtskrümmung ist die 2. Ableitung der Funktion $w'' < 0$. Wir erhalten dann:

Diese Gleichung ist nicht linear. Da wir aber die linear-elastische Verformung betrachten (Hookesche Gesetz) liegen grundsätzlich immer kleine Verformungen vor. Demnach ergeben sich auch nur sehr kleine Tangentensteigungen $w'$ und damit $w' = \frac{dw}{dx} << 1$.

Tangente

Damit können wir den Term $w'$ vernachlässigen und erhalten:

Wie wir bereits in vorherigen Abschnitten gezeigt haben, führen auch Temperaturdifferenzen zur Verformung der Balkenachse und damit zur Krümmung der Biegelinie. Treten also Temperaturunterschiede auf, so ergibt sich die Differentialgleichung der Biegelinie unter Berücksichtigung der Gesamtkrümmung zu:

Die obige Gleichung ist die Differentialgleichung der Biegelinie 2. Ordnung. Diese Gleichung gibt die Gleichung der Durchbiegung eines Balkens in Abhängigkeit von $x$ infolge äußerer Biegemomente und/oder Querkräfte an.

Wir können die Differentialgleichung der Biegelinie auch in einer alternativen Formulierung angeben. Dazu wird diese 2 mal abgeleitet:

$w'''' = (-\frac{M_y}{EI_{yy}} - \alpha_{th}\cdot \frac{\triangle T}{h})''$

Gehen wir von einem linearen Temperaturverlauf aus, so ist die 2. Ableitung gleich Null:

$w'''' = (- \frac{M_y}{EI_{yy}} )''$

Die 1. Ableitung des Biegemoments ergibt die Querkraft:

 $\frac{dM}{dx} = M' = Q $

$w''' = -\frac{Q}{(EI_{yy})'} $

und mit konstanter Biegesteifigkeit $EI = const$ ergibt sich dann:

Die 1. Ableitung der Querkraft (und damit die 2. Ableitung des Biegemoments) führt uns zur Linienlast entlang der $x$-Achse:

$\frac{dQ}{dx} = Q' =  -q(x)$

$w'''' = -\frac{-q(x)}{(EI_{yy})''} $

Gehen wir davon aus, dass die Biegesteifigkeit $EI$ konstant ist, so erhalten wir:

Hierbei handelt es sich um die Differentialgleichung 4. Ordnung. In der ersten Grafik ist eine Linienlast auf den Balken gegeben. Mithilfe dieser letzten Formel kann somit die Biegelinie $w(x)$ durch viermalige Integration bestimmt werden.

Es gilt außerdem der folgende Zusammenhang:

Diese Gleichung wird herangezogen, wenn nach dem Drehwinkel der Balkenachse in einem bestimmten Punkt gefragt wird.

Randbedingungen

Die Randbedingungen für verschiedene Lagerungen können Tabellenwerken entnommen werden. Hier eine kleine Übersicht:

Randbedingungen

Beispiel: Biegelinie und Krümmung

Balken mit Streckenlast

Bestimmung der Biegelinie

Da in der Aufgabe eine Streckenlast über die gesamte Balkenlänge wirkt, können wir zur Bestimmung der Biegelinie die folgende Gleichung heranziehen:

Dazu benötigen wir noch den Verlauf $q(x)$. Da $q_0$ überall gleich groß ist, ist die Streckenlast konstant und damit $q(x) = q_0$:

$EI w'''' = q_0$

1. Integration:

$EI w''' = \int q_0 \; dx = q_0 \cdot x + C_1$

2. Integration:

$EI w'' = \int q_0 \cdot x \; dx +\int C_1 \; dx = \frac{1}{2} q_0 x^2 + C_1 x + C_2$

3. Integration:

$EI w' =  \int \frac{1}{2} q_0 x^2 \; dx + \int C_1 x \; dx + \int C_2 \; dx$

$EI w' = \frac{1}{6} q_0 x^3 + \frac{1}{2} C_1 x^2 + C_2 \cdot x + C_3$

4. Integration:

$EI w = \int \frac{1}{6} q_0 x^3 \; dx + \int \frac{1}{2} C_1 x^2 \; dx + \int C_2 \cdot x \; dx + \int C_3 \; dx$

$EI w = \frac{1}{24} q_0 x^4 + \frac{1}{6} C_1 x^3 + \frac{1}{2} C_2 \cdot x + C_3 \cdot x + C_4$

Als Nächstes werden die Randbedingungen herangezogen. Wir haben ein Festlager gegeben bei x = 0 (x-Achse beginnt am Balkenanfang) und ein Loslager bei x = l.

Aus der obigen Tabelle lesen wir das Folgende ab:

Für das Festlager gilt: w = 0, M= 0

Für das Loslager gilt w = 0, M = 0

Es gilt der folgende Zusammenhang:

$EI w'' = -M_y$

$EI w''' = -Q_z$

Zunächst betrachten wir das Festlager bei x = 0 und die Biegelinie EIw. Es gilt w = 0:

$EI w = \frac{1}{24} q_0 x^4 + \frac{1}{6} C_1 x^3 + \frac{1}{2} C_2 \cdot x + C_3 \cdot x + C_4$

Einsetzen von w = 0 für x = 0:

$EI \cdot 0 = \frac{1}{24} q_0 0^4 + \frac{1}{6} C_1 0^3 + \frac{1}{2} C_2 \cdot 0 + C_3 \cdot 0 + C_4$

Des Weiteren gilt für das Festlager M = 0. Dazu ziehen wir die 2. Ableitung der Biegelinie heran:

$EI w'' = \frac{1}{2} q_0 x^2 + C_1 x + C_2 = -M_y$

Einsetzen von M = 0 für x = 0:

$0 = \frac{1}{2} q_0 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2$

Danach betrachten wir das Loslager bei x = l. Es gilt w = 0:

$EI w = \frac{1}{24} q_0 x^4 + \frac{1}{6} C_1 x^3 + \frac{1}{2} C_2 \cdot x + C_3 \cdot x + C_4$

Einsetzen von w = 0 für x = l sowie C₂ = 0 und C₄ = 0:

$EI \cdot 0 = \frac{1}{24} q_0 l^4 + \frac{1}{6} C_1 l^3 + \frac{1}{2} 0 \cdot l + C_3 \cdot l + 0$

$ 0 = \frac{1}{24} q_0 l^4 + \frac{1}{6} C_1 l^3 + C_3 \cdot l $

$C_3 = -\frac{1}{24} q_0 l^3 - \frac{1}{6} C_1 l^2$

Des Weiteren gilt für das Loslager M = 0. Dazu ziehen wir die 2. Ableitung der Biegelinie heran:

$EI w'' = \frac{1}{2} q_0 x^2 + C_1 x + C_2 = -M_y$

Einsetzen von M = 0 für x = l sowie C₂ = 0 :

$0 = \frac{1}{2} q_0 l^2 + C_1 \cdot l + 0 $

Einsetzen in die Integrationskonstante C3:

$C_3 = -\frac{1}{24} q_0 l^3 - \frac{1}{6} \cdot ( -\frac{1}{2} q_0 l ) l^2$

$C_3 = -\frac{1}{24} q_0 l^3 + \frac{1}{12} \cdot q_0  l^3$

Zusammenfassen:

Die Integrationskonstanten können als Nächstes in die Biegelinie EIw eingesetzt werden:

$EI w = \frac{1}{24} q_0 x^4 + \frac{1}{6} ( -\frac{1}{2} q_0 l ) x^3 + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot x + (\frac{1}{24} q_0 l^3 ) \cdot x + 0$

$EI w = \frac{1}{24} q_0 x^4 + \frac{1}{6} ( -\frac{1}{2} q_0 l ) x^3  + (\frac{1}{24} q_0 l^3 ) \cdot x $

$EI w = \frac{1}{24} q_0 \cdot x^4 - \frac{1}{12} q_0 \cdot l \cdot  x^3 + \frac{1}{24} q_0 \cdot l^3  \cdot x $

$EI w = \frac{1}{12} q_0  ( \frac{1}{2} x^4 - l x^3 + \frac{1}{2} l^3 x)$

Die Durchbiegung w ergibt sich dann durch Division von EI:

$w = \frac{1}{12 EI} q_0 ( \frac{1}{2} x^4 - l x^3 + \frac{1}{2} l^3 x)$

Ist eine positive Durchbiegung gegeben, so erfolgt die Durchbiegung in Richtung der positiven z-Achse (nach unten). Ist eine negative Durchbiegung gegeben, so erfolgt die Durchbiegung in Richtung der negativen z-Achse (nach oben).

Bestimmung der Krümmung

Für die Krümmung gilt:

$\kappa = -w'' = \frac{M_y}{E I_y}$

Es muss hier nicht extra das Schnittmoment $M_y$ berechnet werden, da wir die zweite Ableitung der Durchbiegung bereits oben berechnet haben:

$\kappa = -w''$

$EI w'' = \frac{1}{2} q_0 x^2 + C_1 x + C_2 $

Einsetzen der Integrationskonstanten:

$EI w'' = \frac{1}{2} q_0 x^2 - \frac{1}{2} q_0 l x  $

Auflösen nach w'':

$w'' = \frac{1}{EI} (\frac{1}{2} q_0 x^2 - \frac{1}{2} q_0 l x )$

Es gilt:

$\kappa = -w'' = -\frac{1}{EI} (\frac{1}{2} q_0 x^2 - \frac{1}{2} q_0 l x )$

Bestimmung des Schnittmoments

Das Schnittmoment $M_y$ ergibt sich dann wie folgt:

$w'' = -\frac{M_y}{E I_y}$

$w'' = \frac{1}{EI} (\frac{1}{2} q_0 x^2 - \frac{1}{2} q_0 l x )$

Damit ist:

$M_y = -(\frac{1}{2} q_0 x^2 - \frac{1}{2} q_0 l x) $