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Statisch unbestimmt gelagerte Balken

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Liegt ein statisch unbestimmter Biegefall vor, kann auch dieser mit Hilfe des Superpositionsprinzips gelöst werden.

Im nachfolgenden Beispiel sei ein solcher Fall beschrieben:

Statisch unbestimmter Balken
Statisch unbestimmter Balken

Beispiel

Ein Balken ist auf einer Seite fest eingespannt und auf der anderen Seite durch ein Loslager gestützt. Belastet wird dieser Balken durch eine Einzellast $ F $. Dass es sich um ein statisch unbestimmten Fall handelt, erkennt man daran, dass den drei Gleichgewichtsbedingungen vier Unbekannte (Lagerkräfte) gegenüber stehen. Daher wählt man als statisch Unbestimmte $X$ die Auflagerkraft des Loslagers am Balkenende. 

Es müssen also vier Lagerkräfte bestimmt werden. Die feste Einspannung $A$ überträgt eine vertikale $A_v$ und horizontale $A_h$ Kraft, sowie ein Moment $M_A$. Das Loslager überträgt eine vertikale Kraft $B_v = B$.

Statisch unbestimmter Balken

Es wird nun die statisch Unbestimmte $X$ für z.B. die Lagerkraft $B$ gewählt, sodass gilt:

$ X = B $

Ansonsten wird nach dem bekannten Ablauf verfahren:

1. Freischneiden des Systems und Bestimmen der Gleichgewichtsbedingungen

$ \rightarrow: A_H = 0 $

$\uparrow: A_V - F + X = 0 $

$ \curvearrowleft A: M_A - F \cdot a + X \cdot 2a = 0 $

2. Herstellen der statischen Bestimmtheit [NEU]

Um die statische Bestimmtheit herzustellen, entfernt man das einwertige Lager $B$ und beginnt die Durchbiegung durch $F$ und $B$ zu berechnen.

Kraft F

Die Berechnung für ein solches Problem wurde bereits im vorherigen Abschnitt (2. Anwendungsbeispiel) durchgeführt bzw. ist aus der Tabelle im Anhang dieses Kapitels zu entnehmen (unter Durchbiegung). Hier muss allerdings die Länge angepasst werden:

$w_F (x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot b$

Die Anpassung erfolgt, indem $b = a$ gesetzt wird:

Methode

$w_F (x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot a$

Kraft B

Die Berechnung für ein solches Problem wurde bereits im vorherigen Abschnitt (1. Anwendungsbeispiel) durchgeführt bzw. ist aus der Tabelle abzulesen:

$ w_X (x = l) = - \frac{Xl^3}{3EI} $

Einsetzen von $l = 2a$:

$ w_X (x = 2a) = - \frac{X8a^3}{3EI} $

Da die Auflagerkraft entgegen der Einzelkraft aus der Tabelle wirkt, folgt der Vorzeichenwechsel: 

Methode

$ w_X (x = 2a) =  -\frac{X8a^3}{3EI} $

Merke

Bei jeder Berechnung ist immer auf das Vorzeichen zu achten, da ansonsten Durchbiegungen nicht korrekt bestimmt werden können!

3. Verträglichkeitsbedingung

In der Verträglichkeitsbedingung muss berücksichtigt werden, dass auf der Seite des Loslagers - trotz des gedanklichen Entfernens zur Herstellung der statischen Bestimmtheit - keine Durchbiegung möglich ist.

$ w(x = 2a ) = 0 $

4. Bestimmung der Unbestimmten

Überlagert (addiert) man nun die Durchbiegungen beider Kräfte und setzt diese gleich null (da keine Durchbiegung am Ende möglich), erhält man für die Gesamtdurchbiegung:

$ w(x = 2a ) = w_F(x = 2a) + w_X (x = 2a) = 0 $ 

Einsetzen liefert:

$ w(x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot a -\frac{X8a^3}{3EI} = 0$

Vereinfachen:

$ w(x = 2a) = \frac{F}{EI} \frac{a^3}{3} + \frac{F}{EI} \frac{a^3}{2} -\frac{X}{EI} \frac{8a^3}{3} = 0$

Nun ist es durch Auflösen möglich $X$ zu bestimmen:

$ X = \frac{5}{16} F = B $

4. Erneutes Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen und Ermittlung der fehlenden Auflagerreaktionen

$ A_V = F - B = F - \frac{5}{16} F = \frac{11}{16} F $

$ M_A = -B2a + Fa = -\frac{5}{16} F \cdot 2a +  F \cdot \frac{2a}{2} = \frac{3}{16}F (2a)$

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Liegt ein statisch unbestimmter Biegefall vor, kann dieser mit Hilfe des   gelöst werden.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

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Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Statisch unbestimmt gelagerte Balken ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Technische Mechanik 2: Elastostatik.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Technische Mechanik 2: ElastostatikTechnische Mechanik 2: Elastostatik
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