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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Statisch unbestimmt gelagerte Balken

Liegt ein statisch unbestimmter Biegefall vor, kann auch dieser mit Hilfe des Superpositionsprinzips gelöst werden.

Im nachfolgenden Beispiel sei ein solcher Fall beschrieben:

Statisch unbestimmter Balken
Statisch unbestimmter Balken

Beispiel

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Ein Balken ist auf einer Seite fest eingespannt und auf der anderen Seite durch ein Loslager gestützt. Belastet wird dieser Balken durch eine Einzellast $ F $. Dass es sich um ein statisch unbestimmten Fall handelt, erkennt man daran, dass den drei Gleichgewichtsbedingungen vier Unbekannte (Lagerkräfte) gegenüber stehen. Das Loslager am Ende des Balkens wird daher zur statisch Unbestimmten $X$. 

Es müssen also vier Lagerkräfte bestimmt werden. Die feste Einspannung $A$ überträgt eine vertikale $A_v$ und horizontale $A_h$ Kraft sowie ein Moment $M_A$. Das Loslager überträgt eine vertikale Kraft $B_v = B$.

Statisch unbestimmter Balken

Als statisch Unbestimmte $X$ wird nun z.B. die Lagerkraft $B$ gewählt: 

$ X = B $

Ansonsten wird nach dem bekannten Ablauf verfahren:

1. Freischneiden des Systems und Bestimmen der Gleichgewichtsbedingungen

$ \rightarrow: A_H = 0 $

$\uparrow: A_V - F + X = 0 $

$ \curvearrowleft A: M_A - F \cdot a + X \cdot 2a = 0 $

2. Herstellen der statischen Bestimmtheit

Wir entfernen nun die Lagerkraft $B$ und berechnen zunächst die Durchbiegung des Balkens, wenn die Kraft $F$ diesen belastet:

Superpositionsprinzip Überlagerungsmethode statisch unbestimmt gelagerte Balken
Superpositionsprinzip: Entfernung des Lagers B

Die Berechnung für ein solches Problem wurde bereits im vorherigen Abschnitt (2. Anwendungsbeispiel) durchgeführt bzw. ist aus der Tabelle Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastung im nächsten Abschnitt zu entnehmen:

$w_F (x = l) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot (l - a)$


Hier muss allerdings die Länge $l = 2a$:

Methode

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$w_F (x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot a$


In einem zweiten Schritt betrachtet wir nun die Durchbiegung des Balkens, wenn die statisch Unbestimmte $X$ auf den Balken wirkt:

Superpositionsprinzip Überlagerungsmethode statisch unbestimmt gelagerte Balken
Superpositionsprinzip: Entfernung der Kraft F

Die Berechnung für ein solches Problem wurde bereits im vorherigen Abschnitt (1. Anwendungsbeispiel) durchgeführt bzw. ist aus der Tabelle abzulesen:

$ w_X (x = l) =  \frac{Xl^3}{3EI} $

Einsetzen von $l = 2a$:

$ w_X (x = 2a) =  \frac{X8a^3}{3EI} $

Da die statisch Unbestimmte $X = B$ entgegen der Einzelkraft $F$ aus der Tabelle wirkt, folgt der Vorzeichenwechsel: 

Methode

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$ w_X (x = 2a) =  -\frac{X8a^3}{3EI} $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Bei jeder Berechnung ist immer auf das Vorzeichen zu achten, da ansonsten Durchbiegungen nicht korrekt bestimmt werden können!

3. Verträglichkeitsbedingung

In der Verträglichkeitsbedingung muss berücksichtigt werden, dass auf der Seite des Loslagers - trotz des gedanklichen Entfernens zur Herstellung der statischen Bestimmtheit - keine Durchbiegung möglich ist.

$ w(x = 2a ) = 0 $

4. Bestimmung der Unbestimmten

Überlagert (addiert) man nun die Durchbiegungen beider Kräfte und setzt diese gleich null (da keine Durchbiegung am Ende möglich), erhält man für die Gesamtdurchbiegung:

$ w(x = 2a ) = w_F(x = 2a) + w_X (x = 2a) = 0 $ 

Einsetzen liefert:

$ w(x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot a -\frac{X8a^3}{3EI} = 0$

Vereinfachen:

$ w(x = 2a) = \frac{F}{EI} \frac{a^3}{3} + \frac{F}{EI} \frac{a^3}{2} -\frac{X}{EI} \frac{8a^3}{3} = 0$

Nun ist es durch Auflösen möglich $X$ zu bestimmen:

$ X = \frac{5}{16} F = B $

5. Erneutes Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen und Ermittlung der fehlenden Auflagerreaktionen

$ A_V = F - B = F - \frac{5}{16} F = \frac{11}{16} F $

$ M_A = -B2a + Fa = -\frac{5}{16} F \cdot 2a +  F \cdot \frac{2a}{2} = \frac{3}{16}F (2a)$