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Baustatik 1 - Verformung infolge reiner Biegung

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Baustatik 1

Verformung infolge reiner Biegung

Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit der reinen Biegung eines Balkens.

Konstruktion mit gebogenen Balken
Konstruktion mit gebogenen Balken

 

Merke

Hier klicken zum AusklappenReine Biegung liegt vor, wenn im Balken ein konstantes und querkraftfreies Biegemoment vorliegt. Der Zustand der reinen Biegung kann im gesamten Balken vorliegen oder nur in Teilbereichen. 
Reine Biegung
Reine Biegung

 

Der Balken in der obigen Grafik wird durch die reine Biegung beansprucht. Dadurch erfolgt eine Durchbiegung des Balkens. Bei der reinen Biegung treten Normalspannungen und Verformungen auf, welche im Folgenden berechnet werden sollen. 

 

Querkraft bei reiner Biegung

Bei der reinen Biegung wirken nur Momente und keine äußeren Kräfte auf den Balken. Da sich die Querkraft aus der Ableitung des Biegemoments berechnet (siehe den Online-Kurs: Statik), gilt hier, dass bei einem konstanten Moment die Querkraft den Wert null annimmt:

Methode

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$M(x) = const.$   $\rightarrow \; M'(x) = 0$

$M'(x) = Q(x) \; \rightarrow \; Q(x) = 0$ 


Aufgrund dessen, dass nur Momente und keine äußeren Kräfte an den Balken angreifen, ergibt sich bei einem Schnitt durch den Balken für die Schnittgrößen $N = Q = 0$. Die Normalkraft nimmt also ebenfalls den Wert Null an.

Im Bereich der reinen Biegung treten nur Normalspannungen $\sigma_x $ auf:

Normalspannungen bei reiner Biegung
Normalspannungen bei reiner Biegung

 

Für die Beziehung zwischen der Spannungsverteilung für $\sigma_x $ und den resultierenden Kräften und Momenten gilt dann:

Normalkraft

Die Normalkraft $N$ an einem Balkenelement berechnet sich aus:

$\sigma = \frac{dN}{dA} \; \Rightarrow \;  N = \int_A \sigma_x \; dA $ 

 

Da bei der reinen Biegung keine äußeren Kräfte in Richtung der Normalkraft angreifen (nur Momente), ist die Normalkraft gleich Null:

Methode

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$ N = 0 \; \rightarrow \; \int_A \sigma_x dA = 0 $                             Normalkraft

Biegemoment

Bei der reinen Biegung (äußeres Moment in der $x,z$-Ebene) tritt nur ein Biegemoment um die $y$-Achse auf. Das Biegemoment ergibt sich aus den Normalspannungen $\sigma_x$ in Richtung der Stabachse:

Methode

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$ M_y = \int_A z \cdot \sigma_x \; dA $                                           Biegemoment

Bei der obigen Gleichung ist $z$ der Hebelarm um das Produkt $\sigma_x dA$ die Kraft. 

 

Das Biegemoment kann aus den Schnittgrößen am geschnittenen Balken bestimmt werden. Allerdings erhält man so keine Kenntnis über die Verteilung und die Höhe der Normalspannung $\sigma_x$. Um diese bestimmen zu können, müssen die Verformungen des Balkens betrachtet werden. Wir ziehen hierfür die grundlegende Annahme der technischen Balkentheorie heran: Die Normalenhypothese von Bernoulli.