Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)

Im vorherigen Abschnitt wurden die Spannungen im Stab bei einem senkrechten Schnitt, also ohne Winkel, untersucht. Änderungen treten erst dann auf, wenn der Schnittwinkel $\alpha \not= 0° $ wird. In diesem Kurstext soll gezeigt werden, wie sich die Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel ändern. Hierzu vergleichen wir die Spannungen die beim einem senkrechten Schnitt $\alpha = 0°$ auftreten mit den Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel $\alpha \not= 0°$.

Spannungen beim senkrechten Schnitt

Senkrechter Schnitt am Balken

• $\alpha = 0° $ (senkrechter Schnitt):

Senkrecht geschnittener Balken

Horizontale Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der Normalkraft $N$:

$\rightarrow: -F + N = 0 \rightarrow N = F$

Berechnung der Normalspannung:

$\sigma_0 = \frac{N}{A} \rightarrow \sigma_0 =  \frac{F}{A} $

Schubspannungen $\tau $ mit einem Schubkraftanteil $ T $ treten nicht auf (siehe vorherigen Abschnitt), weshalb die Normalspannung in diesem Fall mit $\sigma_0$ bezeichnet wird.

Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel

Als nächstes wird derselbe Balken betrachtet, mit der Änderung, dass der Schnitt mit dem Winkel $\alpha$ durchgeführt wird:

Schnitt mit Winkel

• $\alpha \not= 0 $:

Schnitt mit Winkel

Bei einem Schnitt mit Winkel muss nun die Kraft $F$ in ihre $x$- und $y$-Komponente zerlegt werden. Die $x$-Achse wird in Richtung der Normalkraft gelegt und die $y$-Achse in Richtung der Tangentialkraft. Es ist dann möglich mittels der Gleichgewichtsbedingungen in $x$- und $y$-Richtung die Normal- und Tangentialkraft zu bestimmen:

$\searrow :  N - F \cos \alpha = 0  \rightarrow N = F \cos \alpha$

$\swarrow :  T + F \sin \alpha = 0  \rightarrow T = -F \sin \alpha$

Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt:

$\sigma = \frac{N}{A}$

Einsetzen:

$\sigma = \frac{ F \cos \alpha}{A}$

$\tau = \frac{T}{A}$

Einsetzen:

$\tau = \frac{-F \sin \alpha}{A}$.

Der Unterschied zum senkrechten Schnitt ist nun, dass die Tangentialkraft ungleich Null ist und damit Schubspannungen $\tau$ auftreten.

Aufgrund des schrägen Schnittes vergrößert sich die Schnittfläche A zu A* (im Gegensatz zum senkrechten Schnitt). Das bedeutet diese Fläche muss angepasst werden:

Schnittfläche bei Schnitt ohne und mit Winkel

Die Berechnung erfolgt in einem rechtwinkligen Dreieck mittels Kosinus:

$\cos (\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

In der obigen Grafik ist die Ankathete $A$ und die Hypotenuse $A*$. Aufgelöst nach $A*$ ergibt sich:

$\ A* = A \cdot \frac{1}{\cos \alpha} $ 

Diese setzt man nun in die Gleichungen für Normal- und Schubspannungen ein:

$\sigma = \frac{F \cos (\alpha)}{A*} \rightarrow \sigma= \frac{F \cos^2 (\alpha)}{A}$

$\tau = \frac{-F \sin (\alpha)}{A*} \rightarrow \tau= \frac{-F \cos (\alpha) \sin (\alpha)}{A} $

Ersetzen von $\frac{F}{A}$ durch $\sigma_0$ (= Normalspannung in einem Schnitt senkrecht zur Stabachse) erhält man vereinfacht:

$\sigma = \sigma_0 \cos^2 (\alpha)$

$\tau = -\sigma_0 \cos (\alpha) \sin (\alpha)$

Nach Anwendung der trigonometrischen Beziehungen erhält man:

$\sigma = \sigma_0 \cos^2 (\alpha) \rightarrow \sigma = \frac{\sigma_0}{2} (1 + \cos (2 \alpha)) $ als Normalspannung und

$\tau = -\sigma_0 \cos (\alpha) \sin (\alpha) = \frac{-\sigma_0}{2} \sin (2\alpha) $ als Schubspannung. 

Ist $\sigma_0$ bekannt, so kann für jeden beliebigen Schnitt die Normalspannung $\sigma$ und die Schubspannung $\tau$ berechnet werden. Die Normalspannung $\sigma $ besitzt unter einem Schnittwinkel von $\alpha= 0° $ (senkrechter Schnitt) ihr Maximum und nimmt mit zunehmendem Winkel kontinuierlich ab, bis sie bei einem Schnittwinkel von 90° gänzlich verschwindet. Anders verhält es sich bei der Schubspannung $\tau $, die ihr betragsmäßiges Maximum unter einem Schnittwinkel von $\alpha = \pm 45° $ besitzt.

Anwendungsbeispiel: Schnitt mit Winkel

Schnitt mit Winkel - Beispiel

Es wird der Schnitt durchgeführt, die Normalkraft senkrecht zum Schnitt eingezeichnet und die Tangentialkraft parallel zum Schnitt eingezeichnet. Die $x$-Achse wird in Richtung der Normalkraft gelegt und die $y$-Achse in Richtung der Tangentialkraft:

Schnitt mit Winkel - Beispiel

Es werden nun die zwei Gleichgewichtsbedingungen in $x$- und $y$-Richtung angewandt:

$\nearrow : N + F \sin (45°) = 0 \; \rightarrow N = -F \sin (45°) = -35,36 N$

$\searrow : T + F \cos(45°) = 0 \; \rightarrow T = - F \cos (45°) = -35,36 N$

Es muss als nächstes die neue Querschnittsfläche bestimmt werden. Bei einem senkrechten Schnitt ist die Querschnittsfläche (kreisförmig) $\pi r^2$ mit einem Durchmesser von $d = 5 cm$:

$A = \pi \cdot 2,5^2 $

Die neue Querschnittsfläche kann mittels Winkelberechnungen am Dreieck bestimmt werden:

Gesuchte Querschnittsfläche

Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, wobei $A$ die Gegenkathete und $A^*$ die Hypotenuse darstellt. $A*$ kann dann bestimmt werden durch:

$A^* = \frac{A}{\sin (\alpha)} = \frac{\pi \cdot 2,5^2}{\sin (45°)} = 27,77 cm^2$.

Die Normalspannung und Schubspannung beträgt demnach:

$\sigma = \frac{N}{A} = \frac{-35,36 N}{27,77 cm^2} = -1,27 \frac{N}{cm^2}$

$\tau = \frac{T}{A} = \frac{-35,36 N}{27,77 cm^2} = -1,27 \frac{N}{cm^2}$