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Baustatik 1 - Spannung und Dehnung bei reiner Biegung

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Baustatik 1

Spannung und Dehnung bei reiner Biegung

Gebogene Brückenelemente (Köln)
Gebogene Brückenelemente mit konstanten Querschnitten (Köln)

 

Wir wollen in diesem Abschnitt die Spannung und Dehnung bei reiner Biegung bestimmen. Es gilt weiterhin die Normalenhypothese von Bernoulli:

  1. Die Querschnitte bleiben also auch nach der Verformung im 90°-Winkel auf der Balkenachse (=neutrale Faser) stehen.
  2. Die neutrale Faser ändert auch nach der Verformung ihre Länge nicht.

Neutrale Faser


Anhand der Kreisbogenlänge $ds$ zwischen zwei Nachbarquerschnitten kann man diese Dehnung bzw. Stauchung bestimmen:

Kreisbogenlänge bei reiner Biegung
Kreisbogenlänge bei reiner Biegung

 

Die obige Grafik zeigt zwei Nachbarquerschnitte nach der Verformung. Wir können nun zunächst die Kreisbogenlänge der unteren Randfaser bestimmen zu:

$ds = (p + z) \cdot d\varphi$

Dabei ist $p$ der Krümmungsradius bis zur neutralen Faser und $z$ die Koordinate von der neutralen Faser zur unteren Randfaser. $d\varphi$ ist der Neigungswinkel zwischen zwei im Abstand $dx$ benachbarten Querschnitten.


Ist $ z = 0 $, sind also untere Randfaser und neutrale Faser identisch, so verkürzt sich die Beziehung zu:

Methode

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$ dx = p \; d\varphi $ 

Krümmung

Die Krümmung $\kappa $ stellt den reziproken Wert (Kehrwert) des Krümmungsradiuses $p$ dar und hat unter Berücksichtigung von $z = 0$ die Form:

Methode

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$ \kappa = \frac{1}{p} = \frac{d\varphi}{dx} = \varphi' $                  Krümmung

 

Lineare Dehnungsverteilung

Das Ausmaß der Dehnung der Faser lässt sich über die Abstände zweier gewählter Punkte vor und nach der Verformung ermitteln. Bei der Wahl der Punkte ist darauf zu achten, dass beide einen identischen Wert für die z-Achse besitzen. In der obigen Grafik sollen das die Punkte $A'$ und $B'$ sein, welche einen identischen Wert für die $z$-Koordinate besitzen. Formal schreibt man:

Methode

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$ \epsilon_x = \frac{\overline{A'B'}-\overline{AB}}{\overline{AB}} = \frac{(p + z)d\varphi - p \; d \varphi}{p \; d \varphi} $

$ \overline{A'B'}$ = Neuer Abstand

$ \overline{AB}$ = Alter Abstand


Nach dem Kürzen der obigen Gleichung erhält man die in $z$ lineare Dehnungsverteilung:

Methode

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$ \epsilon_x = \frac{z}{p} $                                Lineare Dehnungsverteilung


Einsetzen von $\kappa = \frac{1}{p} = \varphi'$ führt zu:

Methode

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$ \epsilon_x = \varphi' \cdot z$

Lineare Spannungsverteilung

Mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes lässt sich schließlich auch die lineare Spannungsverteilung $\sigma_x$ ermitteln:

Methode

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$\sigma_x = E \cdot \epsilon_x $                         Hookesches Gesetz


Setzen wir nun die lineare Dehnungsverteilung $ \epsilon_x$ in das Hooksche Gesetz ein, so erhalten wir die lineare Spannungsverteilung:

Methode

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$\sigma_x = E \cdot \frac{z}{p}$             Lineare Spannungsverteilung

mit

$E$ = E-Modul, welches aus Tabellenwerken entnommen werden kann

 

Zugspannungen liegen vor, wenn $ z > 0 $ und Druckspannungen liegen vor, wenn $ z < 0 $ wird. Beides gilt für ein positives Biegemoment $M = M_y$. Die neutrale Faser hat weiterhin die Eigenschaft $\sigma_x = 0 $:

Zug-/ Druckspannungen bei reiner Biegung
Zug-/ Druckspannungen bei reiner Biegung

Biegemoment und Normalspannung

Um nun die Normalspannung $\sigma_x$ bei reiner Biegung aus den Schnittgrößen bestimmen zu können, betrachtet man das Biegemoment $M_y$. Wie im vorherigen Abschnitt aufgeführt, wird sowohl die Normalkraft als auch die Querkraft bei reiner Biegung gleich null. Es verbleibt also das Biegemoment, welches um die $y$-Achse dreht. Dieses wird bestimmt durch:

Methode

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$M_y = \int_A z \cdot \sigma_x \; dA$


Einsetzen von $\sigma_x = E \cdot \frac{z}{p} $ ergibt:

$M_y = \int_A E \cdot \frac{z^2}{p} \; dA$

Liegt ein konstantes $E$-Modul vor (kein aus mehreren Materialien geschichteter Balken), so kann dieses vor das Integral gezogen werden: 

$M_y = \frac{E}{p} \int_A z^2 \; dA$

Hierbei ist $I_y = \int_A z^2 dA$ das Flächenträgheitsmoment 2. Grades bezüglich der $y$-Achse:

$M_y = \frac{E}{p} \cdot I_y$

Wir betrachten als nächstes die lineare Spannungsverteilung

 $\sigma_x = E \cdot \frac{z}{p}$  

 

und stellen diese um

$\frac{E}{p} = \frac{\sigma_x}{ z}$

 

Die obige Gleichung setzen wir als nächstes ein in $M_y$:

$M_y = \frac{\sigma_x}{ z} \cdot I_{y}$    


Umgestellt nach der Normalspannung $\sigma_x$ ergibt sich:

Methode

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$\sigma_x = \frac{M_y}{I_{y}} z $           Normalspannung (einachsige reine Biegung)


Hier ist die Spannung nicht mehr vom Flächeninhalt selbst abhängig, sondern vom Flächenträgheitsmoment $I_{y}$ zweiter Ordnung. 

Die maximale Normalspannung $\sigma_{max}$ bzw. die minimale Normalspannung $\sigma_{min}$ liegt dort, wo der senkrechte Abstand zur neutralen Faser am größten ist, also am Rand. Die neutrale Faser verläuft durch den Schwerpunkt des betrachteten Bauteils. 

Merke

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Die obige Formel wird zur Berechnung der Normalspannung bei gerader reiner Biegung herangezogen.