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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung

Inhaltsverzeichnis

Beispiel: Reine Biegung

Reine Biegung - Beispiel Balken (Trapez)

Beispiel

Gegeben sei der obige Balken mit einem einfach symmetrischen trapezförmigen Querschnitt. Der Balken ist fest eingespannt. Es soll das Widerstandsmoment und die maximale sowie minimale NormalSpannung bestimmt werden.

Zunächst wird der Balken freigeschnitten:

Reine Biegung - Freischnitt

Es folgt nun die Bestimmung der Lagerkräfte. Die Einspannung ist ein dreiwertiges Lager (siehe obige Grafik). Die Lagerkräfte werden am ungeschnittenem Balken mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen bestimmt:

$\rightarrow : A_x = 0$

$\uparrow : A_z = 0$

$\curvearrowleft A : -M_A + M = 0 \; \rightarrow M_A = M = 30 Nm$.

Es ist deutlich zu erkennen, dass die vertikale und horizontale Lagerkraft null wird, da auf den Balken keine Vertikal- und Horizontalkräfte wirken. Es wirken also nur Momente.


Es wird nun ein Schnitt durch den Balken durchgeführt und die Schnittgrößen angetragen:

Reine Biegung - Schnittgrößen

Linkes Schnittufer:

$\rightarrow N = 0$

$\uparrow -Q = 0$

$\curvearrowleft M_l - M_A - A_z \cdot x = 0 $

mit $A_z = 0$ (keine Querkräfte) ergibt sich:

$M_l = M_A = 30 Nm$


Rechtes Schnittufer:

$\rightarrow -N = 0$

$\uparrow Q = 0$

$\curvearrowleft -M_r + M_A = 0 \; \rightarrow M_r = M_A = 30 Nm$

Es ist deutlich zu sehen, dass das Biegemoment über die gesamte Balkenlängsachse konstant ist. Es treten keine Querkräfte auf, d.h. es liegt reine Biegung vor. Die maximale Normalspannung lässt sich berechnen durch:

Merke

$\sigma_{x, max} = \frac{|M_y|}{I_y} \cdot |z_{max}| $ 

mit $W_b = \frac{I_y}{|z_{max}|} $

Zunächst muss das Widerstandsmoment bestimmt werden:

$\ W_y = \frac{I_y}{|z_{max}|} $


Das Flächenträgheitsmoment $I_y$ für ein symmetrisches Trapez kann Tabellenwerken entnommen werden:

$I_y = (1,5m)^3 \frac{(1m + 0,5m)^2 + (2 \cdot 0,5m \cdot 1m)}{36 \cdot (1m + 0,5m)}$

$I_y = 0,203 m^4$

Nachdem nun das Flächenträgheitsmoment bestimmt worden ist, wird als nächstes der Abstand der neutralen Faser, für die gilt $\sigma_x = 0$, zum Rand hin benötigt. Die neutrale Faser verläuft durch den Schwerpunkt. Es muss demnach zunächst noch der Schwerpunkt des Trapezes bestimmt werden (kann ebenfalls Tabellenwerken entnommen werden). Der Schwerpunkt befindet sich (ausgehend vom oberen Rand zum Schwerpunkt hin) bei

$z_s = \frac{1,5m}{3} \cdot \frac{1 m + 2 \cdot 0,5m}{1m + 0,5 m} = 0,67 m$.

Der Abstand der neutralen Faser (welche durch den Schwerpunkt verläuft) hin zum oberen Rand beträgt also 0,67 m und zum unteren Rand $1,5m - 0,67 m = 0,83 m$. Für das Widerstandsmoment muss die betragsmäßig größte Spannung verwendet werden, also auch der größte Abstand von der neutralen Faser zum Rand (hier: 0,83m):


Das Widerstandsmoment beträgt also (Berücksichtigung der maximalen Normalspannung):

$\ W_b = \frac{0,203 m^4}{0,83 m} = 0,245 m^3$


Die maximale Spannung ist beim positiven Biegemoment $M_y = 30 Nm$ am unteren Rand zu finden. Es muss also der Abstand der neutralen Faser zum unteren Rand berücksichtigt werden.


Die maximale Spannung ergibt sich dann zu:

$\sigma_{max} = \frac{M_y}{I_y} \cdot z_1 $

$\sigma_{max} = \frac{30 Nm}{0,203 m^4} \cdot 0,83 m = 122,66 \frac{N}{m^2}$


Die minimale Spannung ergibt sich zu:

$\sigma_{max} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_2 $

$\sigma_{max} = \frac{30 Nm}{0,203 m^4} \cdot -0,67 m = -99, 01 \frac{N}{m^2} $m)

Merke

Da das Biegemoment über den gesamten Balken konstant ist, sind die Spannungen, unabhängig davon wo der Schnitt durchgeführt wird, überall gleich.