Dehnung: Aufgaben und Lösungen

Beispiel 1: Hängender Stab

Bestimmung der Normalspannung

Hierzu wird ein Schnitt durchgeführt. Der Abstand von oben zum Schnitt hin wird mit $x$ bezeichnet. Die Normalkraft steht senkrecht auf der Querschnittsfläche.

Die Normalkraft $N$ ist in diesem Stab nicht konstant, weil die Gewichtskraft in Richtung der Stabachse wirkt und aufgrund der Schwerkraft damit eine Linienlast gegeben ist. Mit zunehmender Länge steigt demnach auch die Normalkraft im Stab. Bei einem horizontalen Stab hingegen ist die Gewichtskraft keine Linienkraft, weil die Gewichtskraft dann nicht in Richtung der Stabachse wirkt.

$G^*$ ist dabei das Gewicht des gesamten Stabes. Führen wir nun bei $x$ einen Schnitt durch, so müssen wir die Gewichtskraft für das betrachtete Stabelement berechnen:

$G = l$

$G^* = l - x$

$\rightarrow  G^* = \frac{G}{l} \cdot (l - x) $.

Die Gleichgewichtsbedingung ergibt:

$\uparrow : N(x) - G^* = 0 \rightarrow N(x) = G^* = \frac{G}{l} \cdot (l - x)$

Die Normalkraft ist definiert als:

$\sigma = \frac{N}{A}$

Einsetzen von $N = G^*$ ergibt:

$\sigma = \frac{G^*}{A} = \frac{G \cdot (l - x)}{A \cdot l}$

$\sigma = \frac{G \cdot l}{A \cdot l} - \frac{G \cdot x}{A \cdot l}$

$\sigma = \frac{G}{A} - \frac{G \cdot x}{A \cdot l} $

$\sigma = \frac{G}{A} (1 - \frac{x}{l})$.

Einsetzen der Werte:

$\sigma = \frac{10 N}{50 cm^2} (1 - \frac{x}{l}) = 0,2 \frac{N}{cm^2} (1 - \frac{x}{20 cm})$

Die Spannung ist also für $x = 0$ (am oberen Ende des Stabes) am größten und liegt dann bei $\sigma = 0,2 \frac{N}{cm^2} $ (die Klammer wird 1) und am unteren Ende für $x = l = 20 cm$ bei $\sigma = 0$.

Berechnung der Stabverlängerung

Zunächst sollte man sich vorher überlegen, welche Differentialgleichung hier herangezogen werden sollte. Für die Differentialgleichung 1. Ordnung benötigen wir die Normalkraft, welche im obigen Beispiel eine Vertikalkraft darstellt. Schneiden wir den obigen Stab frei, so haben wir eine unbekannte vertikale Auflagerkraft (Einspannung) gegeben. Uns steht in der Ebene eine vertikale Gleichgewichtsbedingung zur Verfügung, mit welcher wir die unbekannte Auflagerkraft berechnen können.

Das wiederum bedeutet, dass wir auch die Normalkraft aus der vertikalen Gleichgewichtsbeding berechnen können. Ist dies der Fall, so können wir die Differentialgleichung 1. Ordnung heranziehen:

Differentialgleichung 1. Ordnung

Da wir keine Temperaturänderung gegeben haben, ergibt sich:

Für die Differentialgleichung 1. Ordnung wird die Normalkraft $N$ benötigt, welche wir bereits oben berechnet haben:

$N(x) = G^* = \frac{G}{l} \cdot (l - x)$

Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:

$u' = \frac{G (l-x)}{l \cdot EA} $             

$u = \int \frac{G (l-x)}{l \cdot EA} dx$

Integration:

$u = \int \frac{G (l-x)}{l \cdot EA} \; dx$    |konstante Faktoren nach vorne ziehen

$u = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot \int (l-x) dx$

$u = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot (lx-\frac{1}{2} x^2) +  C$

Die Integrationskonstante $C$ kann aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x = 0$. Man erhält also:

$0 = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot (l \cdot 0 -\frac{1}{2} 0^2) + C$

$\Rightarrow C = 0$

Es gilt demnach:

$u = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot (lx-\frac{1}{2} x^2) $

Um nun daraus die Stabverlängerung zu bestimmen, müssen die Stabenden ($x= 0$ und $x = l$) betrachtet werden:

$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot (l^2-\frac{1}{2} l^2) - \frac{G}{l \cdot EA} \cdot (l \cdot 0 -\frac{1}{2} 0^2)$

Der letzte Summand wird Null:

$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) = \frac{G}{l \cdot EA} \cdot (l^2-\frac{1}{2} l^2)$

Einsetzen der Werte:

$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) = \frac{10 N}{20 cm \cdot 1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50cm^2} \cdot ((20 cm)^2-\frac{1}{2} (20 cm)^2)$

Die Längenänderung beträgt:

Der Stab verlängert sich um $\triangle l = 0,000001053$. Insgesamt ist der Stab, durch die Linienlast, die sich aufgrund des Eigengewichts ergibt, von 20 cm auf 20,000001053$ verlängert worden.

Differentialgleichung 2. Ordnung

Es ist ebenfalls möglich die Differentialgleichung 2. Ordnung heranzuziehen, um diese Aufgabe zu lösen. Natürlich ist es nicht sinnvoll eine zweifache Integration durchzuführen, wenn man mit einmaliger Integration (Differentialgleichung 1. Ordnung) zum Ergebnis gelangt. Wir wollen uns die Vorgehensweise trotzdem mal genauer ansehen.

Die Differentialgleichung 2. Ordnung ist gegeben zu:

Es gilt der Sonderfall der Differentialgleichung, da die Querschnittsfläche $A$ und das E-Modul $E$ konstant sind, demnach ist die Dehnsteifigkeit ebenfalls konstant. Der Term für die Temperaturänderung fällt heraus:

Um diese Differentialgleichung mit der Linienkraft $n$ berechnen zu können, wird die Gewichtskraft $G$ in eine Linienkraft umgerechnet mit [Kraft je Längeneinheit]. Die Gewichtskraft wirkt auf die gesamte Länge $l$ des Stabes, also:

$n = \frac{G}{l} = \frac{10 N}{20 cm} = 0,5 \frac{N}{cm}$

Die Verschiebung kann nun durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung gelöst werden:

(1) $EAu'' = -0,5 \frac{N}{cm}$

(2) $EAu' = -0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1 $       

(3) $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$

Die Integrationskonstanten können aus den Randbedingungen an den Stabenden ($x = 0$ und $x = l = 20 cm$) bestimmt werden. Für das eingespannte Stabende gilt, dass die Verschiebung hier gleich null ist $u = 0$ für $x = 0$. Aus (3) erhält man dann:

$EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + C_1 \cdot x + C_2$

$EA \cdot 0 =  -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2$

$C_2 = 0$.

Für das untere Stabende ($x = l)$ ist die Normalspannung (bereits oben bestimmt) gleich null $\sigma = 0$. Wir können die Gleichung (2) heranziehen:

$EAu' = -0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1 $

Die Gleichung (2) ist nichts anderes als die Differentialgleichung 1. Ordnung (aufgelöst nach u'):

$u' = \frac{-0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1}{EA} =  \frac{N}{EA}$

Es gilt:

$\sigma = \frac{N}{A}$  $\Rightarrow N = \sigma \cdot A$

Einsetzen in die obige Gleichung:

$\frac{-0,5 \frac{N}{cm} \cdot x + C_1}{EA} = \frac{\sigma \cdot A}{EA}$

Einsetzen von $\sigma = 0$ und $x = l$: 

$\frac{-0,5 \frac{N}{cm} \cdot l + C_1}{EA} = \frac{0 \cdot A}{EA}$

$\frac{-0,5 \frac{N}{cm} \cdot l + C_1}{EA} = 0$               |$\cdot EA$

$-0,5 \frac{N}{cm} \cdot l + C_1 = 0$  

$C_1 = 0,5 \frac{N}{cm} \cdot l$                           |$l = 20 cm$

$C_1 = 0,5 \frac{N}{cm} \cdot 20 cm = 10N$

Diese Integrationskonstanten werden nun eingesetzt in (3):

(3) $EAu = -0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + 10N \cdot x$.

Die Verschiebung wird bestimmt, indem durch $EA$ geteilt wird:

$u = \frac{1}{EA} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} x^2 + 10N \cdot x)$.

Um nun daraus die Stabverlängerung zu bestimmen, müssen die Stabenden betrachtet werden:

$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) = \frac{1}{EA} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} l^2 + 10N \cdot l) - \frac{1}{EA} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + 10N \cdot 0)$

Einsetzen der Werte $l = 20 cm$, $E = 1.900.000 \frac{N}{cm^2}$ und $A = 50 cm^2$:

$\triangle l =  \frac{1}{1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} (20 cm)^2 + 10N \cdot 20 cm) - \frac{1}{1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2} (-0,5 \frac{N}{cm} \frac{1}{2} 0^2 + 10N \cdot 0)$

$\triangle l = 0,000001053 cm$

Die Stabverlängerung ist natürlich identisch mit der oben berechneten. Der Stab verlängert sich also auf:

$20 cm + 0,000001053 = 20,000001053 cm$.

Beispiel 2: Beidseitig eingespannter Stab

In diesem Beispiel soll der Verschiebungsverlauf berechnet werden.

In diesem Beispiel ist nun statt der konstanten Streckenlast (siehe obiges Beispiel) eine linear verteilte Streckenlast entlang der Stabachse gegeben. Wir schauen nun zunächst, ob es möglich ist, die Normalkraft aus der vertikalen Gleichgewichtsbedingung zu berechnen. Dazu betrachten wir den Stab und schneiden diesen von den Lagern frei:

Freischnitt Stab

Es ist deutlich zu erkennen, dass insgesamt 2 unbekannte vertikale Auflagerkräfte gegeben sind. Wir haben aber nur 1 vertikale Gleichgewichtsbedingung zur Verfügung:

$\uparrow : B - A = 0$

Wir sehen, dass die beiden Auflagerkräfte nicht aus der Gleichgewichtsbedingung berechnet werden können. Das heißt, dass wir die Normalkraft ebenfalls nicht aus der Gleichgewichtsbedingung berechnen können. Die Differentialgleichung 1. Ordnung kann hier nicht herangezogen werden:

Für die Differentialgleichung 1. Ordnung wird die Normalkraft $N$ benötigt. Da wir diese aus der Gleichgewichtsbedingung nicht berechnen können, müssen wir die Differentialgleichung 2. Ordnung heranziehen:

Es gilt der Sonderfall der Differentialgleichung, da die Querschnittsfläche $A$ und das E-Modul $E$ konstant sind, demnach ist die Dehnsteifigkeit $EA$ ebenfalls konstant. Der Term für die Temperaturänderung fällt heraus:

Dabei ist $n$ die Linien- bzw. Streckenlast entlang der Stabachse. Wir haben hier eine linear verteilte Linienlast gegeben. Die Linienlast wird durch die folgende Geradengleichung beschrieben:

In der obigen Grafik ist die linear verteilte Linienlast gegeben. Wir haben diese Linienlast um 90° gedreht (und die dazu gehörige $x$-Achse) um diese in ein Koordinatensystem einzeichnen zu können. Es ist deutlich zu erkennen, dass es sich hierbei um eine Gerade handelt, welche im Ursprung beginnt und eine positive konstante Steigung aufweist. Die Geradengleichung ergibt sich zu:

$p(x) = mx + b$

Wobei $m$ die Steigung darstellt und $b$ der Beginn der Gerade auf der $p(x)$-Achse. Wir beginnen damit, die Steigung $m$ zu bestimmen. Beginnen wir im Ursprung des Koordinatensystems, so müssen wir $l$ Schritte in positive $x$-Richtung und $p$ Schritte in positive $p(x)$-Richtung gehen, um an den Endpunkt der Gerade zu gelangen:

$m = \frac{p}{l}$

Die Gerade beginnt im Koordinatenursprung, weshalb $b = 0$ ist. Es ergibt sich demnach die Geradengleichung:

Die Geradengleichung $p(x)$ entspricht der Linienlast $n$ entlang der Stabachse. Einsetzen in die Differentialgleichung 2. Ordnung führt auf:

$EAu'' = - \frac{p}{l} x $

1. Integration:

$EAu' = \int - \frac{p}{l} x \; dx $

$EAu' = - \frac{p}{l} \int x \; dx$

$EAu' = - \frac{p}{l} \cdot \frac{1}{2} x^2  + c_1$

2. Integration:

$EAu' = - \frac{p}{l} \cdot \frac{1}{2} x^2 + c_1$

$EAu = \int [- \frac{p}{l} \cdot \frac{1}{2} x^2 + c_1] dx$

$EAu = - \frac{p}{l} \cdot \int \frac{1}{2} x^2 \; dx + \int c_1 \; dx$

Es ergibt sich:

Es handelt sich hierbei um eine unbestimmte Integration, für welche gilt: $\int f(x) = F(x) + C$. Dabei ist $C$ die Integrationskonstante. 

In unserem Fall haben wir zwei Integrationen und damit zwei Integrationskonstanten. Wir dürfen bei der 2. Integration die Integrationskonstante der 1. Integration nicht vergessen mit zu integrieren.

Die Integrationskonstanten werden nun mittels Randbedingungen berechnet. Dabei betrachten wir den Stabanfang $x = 0$ und das Stabende $x = l$ und überlegen uns, welche Werte $u$ annimmt. Am Stabanfang ist der Stab fest eingespannt. Hier kann keine Verschiebung stattfinden:

$u = 0$ für $x = 0$   Stabanfang

Dasselbe gilt auch für das Stabende:

$u = 0$ für $x = l$

Mittels dieser Randbedingungen können wir die Integrationskonstanten berechnen:

$EAu = - \frac{p}{l} \cdot \frac{1}{6} x^3 + c_1 \cdot x + c_2$

Wir setzen $x = 0$ und $u = 0$ und erhalten damit:

$0 = c_2$

Wir erhalten demnach:

$EAu = - \frac{p}{l} \cdot \frac{1}{6} x^3 + c_1 \cdot x$

Als Nächstes setzen wir $x = l$ und $u = 0$ ein:

$0 = - \frac{p}{l} \cdot \frac{1}{6} l^3 + c_1 \cdot l$

$ \frac{p}{l} \cdot \frac{1}{6} l^3 = c_1 \cdot l$            |$:l$

$c_1 = \frac{p}{l^2} \cdot \frac{1}{6} l^3 $                  |kürzen

$c_1 = p \cdot \frac{1}{6} l $

Es ergibt sich demnach:

$EAu = - \frac{p}{l} \cdot \frac{1}{6} x^3 + p \cdot \frac{1}{6} l \cdot x$

$EAu = - \frac{p}{6l} x^3 + \frac{pl}{6} \cdot x$

Der Verschiebungsverlauf ist also gegeben zu:

Der Normalkraftverlauf ergibt sich aus der Ableitung des Verschiebungsverlaufes:

$u' = \frac{N}{EA}$        Differentialgleichung 1. Ordnung

$\Rightarrow  N = EAu' $

$N = EAu' = (- \frac{p}{6l} x^3 + \frac{pl}{6} \cdot x)'$

$N = EAu' = - \frac{3p}{6l} x^2 + \frac{pl}{6} $

$N = EAu' = - \frac{1p}{2l} x^2 + \frac{pl}{6} $

Die Verschiebung ist maximal, wo ihre Ableitung, also die Normalkraft gleich Null ist:

$ - \frac{1p}{2l} x^2 + \frac{pl}{6} = 0$

Nach $x$ auflösen:

$x^2 = \frac{pl \cdot 2l}{6 \cdot p}$

$x^2 = \frac{l^2}{3}$

$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{l^2}{3}}$  (Muss ein positiver Wert sein)

$x =  \sqrt{\frac{l^2}{3}} = l \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} $