Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)

In diesem Abschnitt wird die Vorgehensweise zur Berechnung des Balkens für Einbereichsaufgaben erläutert. Hierzu wird das Vorgehen, welches im Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie beschrieben wird, angewandt. Eine Einbereichsaufgabe ist gegeben, wenn der Momentenverlauf $M(x)$ durch eine einzige Funktion für den gesamten Balken beschrieben werden kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn auf dem gesamten Balken eine konstante Streckenlast wirkt oder eine Kraft oder ein Moment am Ende des Balkens angreift.

Beispiel: Feste Einspannung

In der obigen Abbildung liegt ein Balken mit der Länge $l$ vor, welcher auf der linken Seite fest eingespannt ist und auf der rechten Seite durch eine Kraft $F$ belastet wird (Querkraftbiegung). Ferner wird angenommen, dass der Balkenquerschnitt über den gesamten Verlauf konstant ist. 

1. Bestimmung der Lagerreaktionen

Nachdem der Balken freigeschnitten wurde, werden die Lagerreaktionen bestimmt:

$\uparrow: A_v - F = 0 \; \rightarrow \; A = F$

Da $A_h = 0$ (aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung), wird im Folgenden $A_v = A$ verwendet.

$ \curvearrowleft{A}: M_A - F \cdot l = 0 \; \rightarrow \; M_A = F \cdot l$.

2. Bestimmung des Momentenverlaufs

Im anschließenden Schritt bestimmt man die Momentensumme um eine gewählte Schnittstelle $S$ im Abstand $x$:

$\curvearrowleft{S} : M(x) + M_A - x\cdot A_x = 0 $ 

Auflösen nach $ M(x)$ und einsetzen von $M_A = Fl$ und $A = F$ ergibt:

$ M(x) = - F(l - x) $

3. Integration der Differentialgleichung der Biegelinie

$ w'' = - \frac{M}{E\cdot I} \text{E I herausziehen} \rightarrow E\cdot I w'' = - M(x) = F(l - x) $

1. Integration:

2. Integration

4. Bestimmung der Integrationskonstanten aus den Randbedingungen

Ablesen aus der Liste des vorherigen Abschnitts für die feste Einspannung: $ w = 0 (x = 0) $ und $ w' = 0 (x = 0)$

Einsetzen der Werte $x = 0$ und $w' = 0$ in

$ E\cdot I w' = F (lx - \frac{1}{2}x^2) + C_1 \; \rightarrow \; C_1 = 0$

Einsetzen der Werte $x = 0$ und $w = 0$ und $C_1 = 0$ in

$ E\cdot I w = F (\frac{1}{2}lx^2 - \frac{1}{6}x^3) + C_1 x + C_2 \; \rightarrow \; C_2 = 0$

5. Durchbiegeverlauf

Der Durchbiegeverlauf hat nach Einsetzen der Werte für die Integrationskonstanten die Form:

6. Neigungswinkel der Querschnitte

Den Neigungswinkel erhält man wiederum aus der ersten Ableitung des Durchbiegeverlaufs. Zur Erinnerung $w' = -\alpha = -\varphi$:

7. Maximale Durchbiegung, maximale Verdrehung [optional, bzw. je nach Fragestellung]

Ist neben dem Durchbiegeverlauf und dem Neigungswinkel auch nach der maximalen Durchbiegung und maximalen Verdrehung gefragt, lassen sich diese durch folgende Gleichungen berechnen:

$ w_{max} = w(x = l) = \frac{Fl^3}{3EI} $ für die maximale Durchbiegung.

Maximale Durchbiegung

$\varphi_{max} = -w'(x = l ) = -\frac{Fl^2}{2 EI} $ für die maximale Verdrehung.