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Baustatik 1 - Dehnungen im Stab

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Baustatik 1

Dehnungen im Stab

Kräfte entlang der Stabachse führen zusätzlich zu den inneren Spannungen auch zur Dehnung bzw. Stauchung des Stabes in $x$-Richtung. Eine Zugkraft führt zu einer Dehnung (=Verlängerung) des Stabes, eine Druckkraft zu einer Stauchung (=Verkürzung) des Stabes. Wir wollen in diesem Kurs nur die Dehnung längs der Stabachse betrachten. 

Hinweis

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Eine Zugspannung führt ebenfalls zu einer Querdehnung des Stabes in $y$- und $z$-Richtung, d. h. der Stab wird dünner. Eine Druckspannung führt ebenfalls zu einer Querstauchung des Stabes in $y$- und $z$-Richtung, d. h. der Stab wird "dicker". Die Querdehnung soll im Folgenden vernachlässigt werden. 

Wir führen zunächst eine vereinfachte Untersuchung an einem Stab der Ursprungslänge $l_0$ mit konstantem Querschnitt $A$ durch. Durch eine Zugbelastung $F$ wird der Stab um die Länge $\triangle l$ gedehnt:

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Dehnung am Zugstab

 

Die Verlängerung $\triangle l$ des Stabes bezogen auf die Ausgangslänge $l_0$ des unbelasteten Stabes bezeichnen wir als Dehnung $\epsilon_N$ mit:

Methode

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$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l_0}$                     konstante Dehnung

Die Dehnung ist also das Verhältnis von Längenänderung zur Ausgangslänge.

$l_0$ ist die ursprüngliche Länge und $\triangle l$ die Längenänderung. Die Dehnung kann auch in Prozent angegeben werden:

Methode

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$\epsilon_N = \frac{\triangle l}{l_0} \cdot 100$      konstante Dehnung (in %)

Die Dehnung gibt das Verhältnis von Längenänderung $\triangle l$ und Ausgangslänge $l_0$ an und ist entsprechend dimensionslos. Dabei gilt es zu beachten, ob es sich um eine Verlängerung [ $ \triangle l > 0$] durch Zugkräfte oder um eine Verkürzung [$\triangle l < 0$] durch Druckkräfte handelt.

 

Beispiel

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Der Stab mit der Länge $l_0 = 10m$ verlängert sich aufgrund von Zugkräften auf $l = 10,5 m$. Das bedeutet, dass sich der Stab um $\triangle l= 0,5 m$ verlängert. Die Dehnung ist dann gegeben zu: $\epsilon = \frac{0,5m}{10m} = 0,05$. Das bedeutet, dass eine Dehnung des Stabes von 5% stattgefunden hat.

 

Anwendung findet die obige Gleichung auch nur, wenn die Dehnung $\epsilon$ über den ganzen Stab hinweg konstant bleibt. Eine konstante Dehnung $\epsilon$ ist gegeben, wenn ein Zug-/Druckstab mit konstantem Querschnitt gegeben ist bzw. sich die Werkstoffparameter nicht ändern. Ist hingegen ein veränderlicher Querschnitt gegeben, so spricht man von einer örtlichen Dehnung.

Örtliche Dehnung

Wir betrachten im Folgenden ein infinitesimales (=unendlich kleines) Stabelement $dx$ eines Stabes. Der Stab sei zunächst unbelastet (siehe folgende Grafik oberer Stab). Wird nun dieses Stabelement $dx$ separat betrachtet, so befindet sich die linke Querschnittsfläche an der Stelle $x$ und die rechte Querschnittsfläche entsprechend an der Stelle $x + dx$:

Örtliche Dehnung
Örtliche Dehnung

 

Kommt es nun zu einer elastischen Verformung (unterer Stab) z. B. infolge äußerer Kräfte, so kommt es zu Verschiebungen der Querschnittsflächen am linken und rechten Rand. Diese Verschiebungen erhalten die Bezeichnung $ u $ für die linke Seite und $ u + du $ für die rechte Seite.

In der obigen Grafik verschiebt sich die linke Querschnittsfläche an der Stelle $x$ um $u$ nach rechts. Die rechte Querschnittsfläche an der Stelle $dx + x$ verschiebt sich um $u + du$ nach rechts.

Man kann nun ganz einfach die Länge des Stabelements im belasteten Zustand durch Addition bzw. Subtraktion bestimmen:

$dx + (u + du) - u $     $\Rightarrow \;  dx + du$.

Das Stabelement vor der Belastung besaß die Länge $dx$. Nach der Belastung besitzt dieses die Länge $dx + du$. Das bedeutet also, dass der Anteil $du$ die Längenänderung angibt. Die örtliche Dehnung kann dann bestimmt werden, indem man die Längenänderung $du$ mit der Ursprungslänge des Stabelements $dx$ ins Verhältnis setzt:

Methode

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$\epsilon (x) = \frac{du}{dx} $                        Örtliche Dehnung


Die örtliche (auch: lokale) Dehnung $e(x)$ ist die Ableitung der Verschiebung $u(x)$ nach der Ortskoordinate $x$.

Stabverlängerung berechnen

Ist die örtliche Dehnung $e(x)$ gegeben, so kann daraus die Verlängerung des Stabelements über eine Integration berechnet werden:

$\epsilon (x) = \frac{du}{dx} $     | Umstellen nach $du$

 $du = \epsilon(x) \; dx$          | Integral bilden

$\int_0^l du = \int_0^l \epsilon(x) \; dx$   | Integral auflösen

Methode

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$\triangle l = u(l) - u(0) = \int_0^l \epsilon (x) \; dx$    Längenänderung (örtliche Dehnung)

Die Differenz der Verschiebung entspricht der Längenänderung $\triangle l$ des Stabelements. Ist nun $e_N (x)$ gegeben, so kann durch Integration die Längenänderung $\triangle l$ bestimmt werden.

Ist die Dehnung konstant $\epsilon(x) = \epsilon_0 = const$, so kann das Integral aufgelöst werden und es ergibt sich:

Methode

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$\triangle l = \epsilon_0 \cdot l$     Längenänderung (konstante Dehnung)


Stellt man die Gleichung nach $\epsilon_0$ um, so erhält man die bereits bekannte Gleichung für eine konstante Dehnung (siehe oben):

$\epsilon_0 = \frac{\triangle l}{l}$

Die Verschiebung $u(x)$ und die Dehnung $\epsilon(x)$ stellen kinematische Größen dar. Kinematische Betrachtungen berücksichtigen nur die Verformungen am Körper, ohne die Ursachen der Verformungen (Krafteinwirkung) zu betrachten.