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Baustatik 2 - Knotendrehwinkel / Stabdrehwinkel

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Baustatik 2

Knotendrehwinkel / Stabdrehwinkel

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Beim Drehwinkelverfahren wird angenommen, dass alle Stäbe des Tragwerks dehnstarr $EA \to \infty$ sind und sich damit die Länge der Stäbe nicht ändert.


Für diesen Fall ist es möglich auftretende Knotenverschiebungen $w$ senkrecht zur Stabachse durch Stabsehenverdrehungen zu beschreiben. Beim Drehwinkelverfahren treten damit als unbekannte Größen nur Verdrehungen auf, und zwar Stabdrehwinkel $\Psi$ und Knotendrehwinkel $\varphi$. 

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Bei Drehwinkelverfahren treten nur Stabdrehwinkel $\Psi$ und Knotendrehwinkel $\varphi$ auf.

Stabdrehwinkel und Stabsehnenverdrehung

Stabsehnenverdrehung
Stabsehnenverdrehung

 

In der obigen Grafik ist ein Stab mit der Länge $L$ zu sehen, welcher am rechten Ende ein Gelenk aufweist. Führen wir nun eine Stabdrehung mit dem Stabdrehwinkel $\Psi$ um dieses Gelenk durch, so verschiebt sich das linke Ende des Stabes senkrecht zur Stabachse um $w$ nach oben. Diese Verschiebung $w$ kann durch den Winkel $\Psi$ wie folgt ausgedrückt werden:

Methode

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$\tan (\Psi) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{w}{L}$


Da wir hier von der Theorie 1. Ordnung ausgehen, vereinfacht sich der Ausdruck zu:

$\tan (\Psi) = \Psi$


und damit

Methode

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$\Psi = \frac{w}{L} \; \; \; $                           Stabdrehwinkel


Aufgelöst nach der Verschiebung $w$ ergibt sich dann:

Methode

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$w = \Psi \cdot L \; \; \;$                      Verschiebung des Stabendes

 

Mit dem Stabdrehwinkel $\Psi$ können (wie oben gezeigt) die Verschiebungen senkrecht zur Stabachse ausgedrückt werden.

Hinweis

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Der Winkel $\Psi$ muss in Bogenmaß innerhalb der Gleichung berücksichtigt werden. Die Umrechnung von Gradmaß $\alpha°$ in Bogenmaß ergibt sich zu:

$\Psi = \frac{2 \pi}{360°} \cdot \alpha°$

Vorzeichenkonvention

Für die Stabdrehwinkel (auch: Stabverdrehung) $\Psi$ gilt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn als positiv. Das bedeutet, dass die Stabsehnenverdrehung gegen den Uhrzeigersinn positiv berücksichtigt wird und im Uhrzeigersinn negativ.

Stabdrehwinkel,Vorzeichenkonvention
Stabdrehwinkel - Vorzeichenkonvention

 

Die Stabdrehwinkel treten nur dann auf, wenn das System verschieblich ist. Bei verschieblichen Systemen müssen Verschiebungsgleichungen (auch: Netzgleichungen) aufgestellt werden. Die Anzahl der Verschiebungsgleichungen entspricht hierbei dem Grad der Verschieblichkeit $w$ (siehe folgenden Abschnitt).

Knotendrehwinkel

Die Knotendrehwinkel $\varphi$ ergeben sich an den biegesteif angeschlossenen Stäben des Systems. Der Knotendrehwinkel ist der gemeinsame Querschnittsdrehwinkel aller biegesteif verbundenen Stäbe. Pro biegesteifen Knoten ergibt sich demnach ein unbekannter Knotendrehwinkel $\varphi$.

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Knotendrehwinkel - biegsteife Ecke


In der obigen Grafik ist die biegsteife Ecke mit zwei angeschlossenen Stäben gegeben. Infolge der äußeren Last $F$ verdreht sich die biegesteife Ecke um den Winkel $\varphi$. Die Querschnitte der dort angeschlossenen Stäbe drehen sich ebenfalls um den Winkel $\varphi$, so dass die 90°-Stellung der Stäbe sich in diesem Knoten nicht ändert.

In der nachfolgenden Grafik wird gezeigt, wie die Querschnittsdrehung für drei biegesteif verbundene Stäbe aussieht:

Knotendrehwinkel, biegesteife Ecke, Querschnittsdrehwinkel, Querschnitte
Knotendrehwinkel = Querschnittsdrehwinkel

 

Alle Querschnitte der biegesteif angeschlossenen Stäbe drehen sich in diesem Knoten um denselben Winkel $\varphi$ (=Knotendrehwinkel). Die Stellung der Stäbe zueinander bleibt in diesem Knoten auch nach der Drehung bestehen. Die Stäbe können sich natürlich mit weiterem Abstand zur biegesteifen Ecke verformen. 

Die nachfolgende Grafik zeigt auf, wo unbekannte Knotendrehwinkel gegeben sind. Hier muss vor allem auf die Position der Gelenke geachtet werden. Ein Knotendrehwinkel tritt dann auf, wenn mindestens zwei Stäbe biegesteif miteinander verbunden sind:

Knotendrehwinkel auffinden
Knotendrehwinkel

Vorzeichenkonvention

Für die Knotendrehwinkel $\varphi$ gilt eine Drehung im Uhrzeigersinn als positiv.

Knotendrehwinkel, Vorzeichenkonvention
Knotendrehwinkel - Vorzeichenkonvention

 

Hinweis

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Mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen (Knotengleichgewicht und Verschiebegleichgewicht) lassen sich die unbekannten Knoten- und Stabdrehwinkel ermitteln.

Die Bestimmung der Anzahl der zu formulierenden Verschiebungs- und Knotengleichungen erfolgt in den nachfolgenden Abschnitten.