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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Skalarprodukt und Winkel

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Skalarprodukt und Winkel

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Inhaltsverzeichnis

Sind zwei Vektoren $\vec{a} \neq 0$ und $\vec{b} \neq 0$ (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.

Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
eingeschlossener Winkel

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).

Für die Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht bekannt sein muss:

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Skalarprodukt: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Für die geometrische Berechnung verwendet man die Formel, die den Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält:

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Skalarprodukt: $ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & \text{für} \; \; \vec{a} = \vec{0 } \; \text{oder} \; \vec{b} = \vec{0} \end{cases}$


Die Zahl $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ergibt sich folgendermaßen:

Projiziert man den Vektor $\vec{a}$ auf den Vektor $\vec{b}$ , so ergibt sich ein Vektor $\vec{a_{\vec{b}}}$ (siehe Grafik unten). Der neue Vektor $\vec{a_{\vec{b}}}$ besitzt die Länge $|\vec{a}| \cos (\varphi)$. Multipliziert man diese Länge mit $|\vec{b}|$ (Länge des Vektors $\vec{b}$) , so erhält man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Skalarprodukt Projektion
Projektion

 

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenEs seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Bitte berechne $\vec{a} \cdot \vec{b}$!

Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$:

Skalarprodukt berechnen

Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = \sqrt{4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{4^2 + 4^2} \cdot \cos(45°) = 4 \cdot \sqrt{32} \cdot cos(45°) = 16$

Winkelberechnung

Das Ablesen des Winkels (wie im obigen Beispiel) ist selten möglich. Deswegen kann man das Skalarprodukt  $\vec{a} \cdot \vec{b}$  aus den Koordinaten der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnen und daraus den Winkel $\cos (\varphi)$ ermitteln.

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Berechnung des Skalarprodukts:

$\vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Berechnung des Winkels:

$ \Longrightarrow \cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \, \cdot \, \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt ohne Kenntnis des Winkels

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben seien die oben angegebenen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Bitte berechne das Skalarprodukt und den Winkel!

Das Skalarprodukt kann ohne Kenntnis des Winkels wie folgt berechnet werden:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 4 \cdot 4 + 0 \cdot 4 = 16 $

Die Berechnung des Winkels erfolgt dann mit der Formel aus der Merkebox:

$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \, \cdot \, \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$\cos (\varphi) = \frac{4 \, \cdot \, 4 + 0 \, \cdot \, 4}{\sqrt{4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{4^2 + 4^2}}$ 

$\cos (\varphi) \approx 0,707106781$

$\varphi = \cos^{-1}(0,707106781) = 45° $