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Vektorrechnung > Das Skalarprodukt:

Skalarprodukt und Winkel

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 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Sind die Vektoren $\vec{a} = \vec{b} \neq 0$ (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel $\varphi$, welcher von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird mit $0 \le \varphi \le \pi$.

Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
Eingeschlossener Winkel

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt eine Zahl (Skalar).

$ \vec{a} \cdot \vec{b}$ := $\begin{cases}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) & \text{für} \; \; \vec{a}, \vec{b} \neq 0 \\ \; 0 & \text{für} \; \; \vec{a} = \vec{0 } \; \text{oder} \; \vec{b} = \vec{0} \end{cases}$


Die Zahl $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ergibt sich also folgendermaßen:

Projiziert man den Vektor $\vec{a}$ auf den Vektor $\vec{b}$ , so ergibt sich ein Vektor $\vec{a_{\vec{b}}}$ (siehe Grafik unten). Der neue Vektor $\vec{a_{\vec{b}}}$ besitzt die Länge $|\vec{a}| \cos (\varphi)$. Multipliziert man diese Länge mit $|\vec{b}|$, so erhält man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Skalarprodukt Projektion
Projektion

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt

Beispiel

Es seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Berechnen Sie $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$:

Skalarprodukt berechnen

Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = \sqrt{4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{4^2 + 4^2} \cdot \cos(45) = 16$

Winkelberechnung

Das Ablesen des Winkels (wie im obigen Beispiel) ist selten möglich. Deswegen kann man das Skalarprodukt  $\vec{a} \cdot \vec{b}$  aus den Koordinaten der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnen und daraus den Winkel $\cos (\varphi)$ ermitteln.

Merke

Berechnung Skalarprodukt

$\vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Winkelberechnung

$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt ohne Kenntnis des Winkels

Beispiel

Gegeben seien die oben angegebenen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Berechne das Skalarprodukt und den Winkel!

Das Skalarprodukt kann ohne Kenntnis des Winkels wie folgt berechnet werden:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 4 \cdot 4 + 0 \cdot 4 = 16 $

Die Berechnung des Winkels erfolgt dann mit der folgenden Formel:

$\cos (\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$\cos (\varphi) = \frac{4 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{\sqrt{4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{4^2 + 4^2}}$ 

$\cos (\varphi) \approx 0,707106781$

$\varphi = \cos^{-1}(0,707106781) = 45° $

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)$ und   $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right)$

In der Zwischenrechnung bis auf zwei Nachkommastellen genau rechnen!

$\varphi $ =     ° [gerundet ohne Nachkommastelle]
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Kommentare zum Thema: Skalarprodukt und Winkel

  • Hans-Joachim Bresch schrieb am 05.09.2014 um 01:21 Uhr
    Bitte die Lösung im Lückentext zur Seite überprüfen!!
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Autor: Jessica Scholz

Dieses Dokument Skalarprodukt und Winkel ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Lineare Algebra.

Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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    "Hätte ich das nur während dem Abi damals gewusst :D Ich war damals aber auch faul, sehr gut das man hier an den Basics anfängt und Schritt für Schriit nochmal alles erklärt bekommt =)))"

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