Beispiel: Drehwinkelverfahren - Knotengleichgewicht

Wir wählen zunächst ein Beispiel zum Drehwinkelverfahren, indem wir ein System betrachten in welchem keine Verschiebungen berücksichtigt werden. Somit werden nur Festhaltungen gegen Verdrehen eingefügt und damit auch nur das Knotengleichgewicht zur Berechnung der unbekannten Verdrehungen benötigt.

Beispiel: Drehwinkelverfahren

Beispiel: Rahmentragwerk

Effektive Stablängen

Bevor wir mit der Berechnung beginnen, ist es sinnvoll die effektiven Stablängen $l'$ zu bestimmen. Diese können über die folgende Formel berechnet werden:

Wir berechnen die einzelnen effektiven Längen $l'$ in einer Tabelle:

1. Geometrisch bestimmtes Grundsystem

Nachdem wir die effektiven Längen berechnet haben, können wir damit beginnen das geometrisch bestimmte Grundsystem aufzustellen. Dazu benötigen wir den Grad der geometrischen Unbestimmtheit. Grundsätzlich setzt sich dieser aus den unbekannten Verschiebungsgleichungen $n_v$ und den unbekannten Knotendrehwinkeln $n_{\varphi}$ zusammen. Die unbekannten Verschiebungsgleichungen werden über den Grad der elastischen Verschieblichkeit $w$ bestimmt. Da das System horizontal unverschieblich ist (und in diesem Fall auch vertikal) wird der Grad der elastischen Verschieblichkeit hier gleich Null ($w = n_v = 0$).

Wir benötigen also noch die unbekannten Knotendrehwinkel:

Unbekannte Knotendrehwinkel

Für die obigen Knoten b und c ist weder das Moment noch die Verdrehung bekannt. Hier liegen also $n_{\varphi} = 2$ unbekannte Knotendrehwinkel vor.

Der Grad der geometrischen Unbestimmtheit beträgt demnach:

$n = n_v + n_{\varphi} = 0 + 2 = 2$

Das System ist demnach 2-fach geometrisch unbestimmt. Für die Anwendung des Drehwinkelverfahrens muss dieses jedoch geometrisch bestimmt sein. Hierzu müssen wir Festhaltungen so einfügen, dass alle Verschiebungen und Verdrehungen der Knoten unterbunden werden. Verschiebungen haben wir nicht gegeben, weshalb wir für das obige System nur Festhaltungen gegen Verdrehen einfügen müssen.

Festhaltungen gegen Verdrehen (Volleinspannung)

Das System ist jetzt geometrisch bestimmt (=0-System).

2. Verformungen am geometrisch bestimmten Grundsystem (0-System)

Zunächst berechnen wir die Verformungen am geometrisch bestimmten Grundsystem (0-System), die infolge der äußeren Belastung auftreten. Wir berechnen die Verformungen beim Drehwinkelverfahren stabweise.

Das Drehwinkelverfahren setzt voraus, dass alle Zustandsgrößen $Q, M, \varphi, w$ für Einzelstäbe infolge aller möglichen Belastungen aus Last- und Knotenweggrößen in einer Tabelle zur Verfügung stehen.

Wir benötigen nun die Verformungen am geometrisch bestimmten Grundsystem, d.h. die Stabendmomente infolge äußerer Einwirkungen. Ihr findet die Tabelle links im Ordner Materialen unter dem Namen Stabendmomente. In der folgenden Grafik ist der relevante Ausschnitt mit zusätzlicher Momentenlinie aufgeführt:

Stabendmomente infolge Streckenlast

Wir haben für den Stab b-c den Lastfall 1 gegeben (Streckenlast). Außerdem ist für uns die Spalte 1 relevant, da wir im Knoten b und im Knoten c je eine Festhaltung gegen Verdrehen gegeben haben, die einer Volleinspannungen des Stabes entsprechen. Das Moment $M$ wirkt nur am Knoten und hat damit keinen Einfluss auf die Momentenlinie der Einzelstäbe. 

Für unser Beispiel ergibt sich demnach:

Stabendmomente infolge äußerer Einwirkungen im 0-System

3. Verformungen an den Einheitssystemen

Wir haben hier zwei Festhaltungen an den Knoten b und c eingefügt, damit ergeben sich zwei Einheitssysteme. Die Stabendmomente infolge Knotendrehungen können ebenfalls Tabellenwerken entnommen werden. Ihr findet eine die Tabelle links im Ordner Materialien unter dem Namen Stabendmomente.

1-System

Den relevanten Ausschnitt aus der Tabelle für die Stabendmomente infolge der Knotendrehung im Knoten b findet ihr in der folgenden Grafik:

Stabendmomente infolge Knotendrehung

Wir betrachten nun zunächst die Knotendrehung im Knoten b. Der Knoten b ist mit dem Stab a-b und mit dem Stab b-c verbunden. Wir müssen nun die Stabendmomente beider Stäbe betrachten.

Der Stab a-b ist an beiden Seiten fest eingespannt (Festhaltung gegen Verdrehen = Volleinspannung). Der Knoten b befindet sich am rechten Ende des Stabes, demnach ist hier die untere Zeile der obigen Grafik relevant.  

Der Stab b-c ist ebenfalls fest eingespannt. Hier erfolgt die Knotendrehung am linken Ende, demnach ist die obere Zeile der Grafik relevant.

Auf unser Beispiel angewendet erhalten wir:

Biegelinie und Momentenlinie infolge Knotendrehung b im 1-System

Die Stabendmomente für können dann einfach durch Einsetzen berechnet werden.

Stab a-b mit der effektive Stablänge $l'_{ab} = 9$

$\frac{2}{l'} = \frac{2}{9} = 0,22$

$\frac{4}{l'} = \frac{4}{9} = 0,44$  

Stab b-c mit der effektiven Stablänge $l'_{bc} = 8$:

$\frac{4}{l'} = \frac{4}{8} = 0,5$

$\frac{2}{l'} = \frac{2}{8} = 0,25$

Stabendmomente infolge Knotendrehung im 1-System

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass infolge der eingefügten Festhaltungen Sprünge in der Momentenlinie auftreten (Knoten b). Das Sprungmoment wird von der Festhaltung aufgenommen. 

2-System

Biegelinie und Momentenlinie infolge Knotendrehung in c im 2-System

Die Stabendmomente für können dann einfach durch Einsetzen berechnet werden.

Stab b-c mit der effektive Stablänge $l'_{bc} = 8$

$\frac{2}{l'} = \frac{2}{8} = 0,25$

$\frac{4}{l'} = \frac{4}{8} = 0,5$  

Stab c-d mit der effektiven Stablänge $l'_{cd} = 4$:

$\frac{4}{l'} = \frac{4}{4} = 1$

$\frac{2}{l'} = \frac{2}{4} = 0,5$

Stabendmomente infolge Knotendrehung im 2-System

4. Aufstellung des Gleichungssystems

Als nächstes müssen die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden. Das Verschiebegleichgewicht fällt hier raus, da keine Verschiebungen gegeben sind.

Die Momentengleichgewichtsbedingungen sind dort aufzustellen, wo Festhaltungen gegen Verdrehen eingefügt wurden. Für die Knotenmomente können die obigen Stabendmomente mit ihren Vorzeichen übernommen werden. Die Knotenmomente müssen aber gegendrehend zu den Stabendmomenten angebracht werden.

Das Knotengleichgewicht berechnet sich wie folgt:

Wir erhalten das folgende Gleichungssystem:

$\sum M_b = 0$

$M^0_b + (M^1_{ba} + M^1_{bc}) \cdot Y_1 + (M^2_{ba} + M^2_{bc}) \cdot Y_2 = 0$

$-16 + (0,44 + 0,5) \cdot Y_1 + (0 + 0,25) \cdot Y_2 = 0$

$\sum M_c = 0$

$M^0_c + (M^1_{cb} + M^1_{cd} + M^1_{ce}) \cdot Y_1 + (M^2_{cb} + M^2_{cd} + M^2_{ce}) \cdot Y_2 = 0$

$(16 - 6) + (0,25 + 0 + 0) \cdot Y_1 + (0,5 + 1 + 0) \cdot Y_2 = 0$

Wir fassen die obigen Gleichgewichtsbedingungen zusammen:

$\sum M_b = 0$

$-16 + (0,44 + 0,5) \cdot Y_1 + (0 + 0,25) \cdot Y_2 = 0$

$\sum M_c = 0$

$(16 - 6) + (0,25 + 0 + 0) \cdot Y_1 + (0,5 + 1 + 0) \cdot Y_2 = 0$

5. Lösung des Gleichungssystems

Wir wollen nun eine Lösung für $Y_1$ und $Y_2$ erhalten, so dass die obigen beiden Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind. Da wir nur zwei unbekannte Variablen haben, können wir hier zum Beispiel das Einsetzungsverfahren anwenden.

Unbekannte Faktoren bestimmen

Wir beginnen damit eine der Gleichgewichtsbedingungen nach einer der Variablen aufzulösen (hier: (1) nach $Y_1$):

(1) $-16 + 0,94 Y_1 + 0,25 Y_2 = 0$

$Y_1 = 17,021 - 0,266 Y_2$

 

Wir setzen diese Gleichung in (2) ein:

(2) $10 + 0,25 Y_1 + 1,5 Y_2 = 0$

$10 + 0,25 \cdot (17,021 - 0,266 Y_2) + 1,5 Y_2 = 0$

$10 + 4,255 - 0,067 Y_2 + 1,5 Y_2 = 0$        |zusammenfassen

 $14,255 + 1,433 Y_2 = 0$                              | nach $Y_2$ auflösen

Wir setzen als nächstes $Y_2$ in eine der obigen Gleichgewichtsbedingungen ein, um $Y_1$ zu bestimmen:

(2) $10 + 0,25 Y_1 + 1,5 \cdot (-9,95) = 0$

$10 + 0,25 Y_1 - 14,925 = 0$

$-4,925+ 0,25 Y_1 = 0$

Probe:

Die Probe erfolgt, indem die beiden Faktoren $Y_1$ und $Y_2$ in die beiden Gleichgewichtsbedingungen eingesetzt werden. Diese müssen erfüllt sein, also Null ergeben:

(1) $-16 + 0,94 \cdot (19,7)  + 0,25 \cdot (-9,95) \approx 0$

(2) $10 + 0,25 \cdot (19,7) + 1,5 (-9,95) = 0$

Das erste Ergebnis ist nicht exakt Null infolge von Rundungsfehlern. Je mehr Stellen nach dem Komma berücksichtigt werden (auch schon bei Anwendung der Stabendmomente) desto genauer das Ergebnis. Am sinnvollsten ist es bei den Stabendmomenten - wenn möglich - mit Brüchen zu arbeiten.

Unbekannte Knotendrehwinkel bestimmen

Außerdem können wir die unbekannten Knotendrehwinkel über die nachfolgende Gleichung bestimmen:

$\varphi = Y \frac{1}{EI_c}$

Wir haben zwei unbekannte Knotendrehwinkel gegeben:

 

Mit $EI_c = 5.000$, $Y_1 = 19,7$ und $Y_2 = -9,95$ erhalten wir:

$\varphi_1 = \varphi_b = 19,7 \frac{1}{ 5.000} = 0,0039$

$\varphi_2 = \varphi_c =  -9,95 \frac{1}{ 5.000 } = -0,002$

6. Berechnung der Momentenlinien des Ausgangssystems 

Wir können als nächstes die Momentenlinie des Ausgangssystems durch Superposition bestimmen:

Wir betrachten hier alle Knoten des Tragwerks.

Knoten a mit Nachbarkonten b

Wir beginnen mit dem Knoten $k = a$ und dem benachbarten Knoten $l =b$:

$M_{ab} = M_{ab}^0 + [M_{ab}^1 \cdot Y_1 + M_{ab}^2 \cdot Y_2$

Im geometrisch bestimmten System (0-System) ist die Momentenlinie von Knoten a zu Knoten b nicht gegeben und demnach ist hier das Stabendmoment am Knoten a gleich Null: $M_{ab}^0 = 0$ 

Im 1-System ist die Momentenlinie von Knoten a zu Knoten b gegeben. Das Stabendmoment am Knoten a beträgt hier: $M_{ab}^1 = 0,22$

Im 2-System ist die Momentenlinie von Knoten a zu Knoten b nicht gegeben. Das Stabendmoment am Knoten a beträgt hier: $M_{ab}^2 = 0$

Wir erhalten demnach:

Knoten b mit Nachbarknoten a

Wir betrachten den Knoten $k = b$ und den benachbarten Knoten $l =a$:

$M_{ba} = M_{ba}^0 + [M_{ba}^1 \cdot Y_1 + M_{ba}^2 \cdot Y_2$

Im geometrisch bestimmten System (0-System) ist die Momentenlinie von Knoten b zu Knoten a nicht gegeben und demnach ist hier das Stabendmoment $M_{ba}^0$ am Knoten b Null.

Im 1-System ist die Momentenlinie von Knoten b zu Knoten a gegeben. Das Stabendmoment am Knoten b beträgt hier: $M_{ba}^1 = 0,44$

Im 2-System ist die Momentenlinie von Knoten b zu Knoten a nicht gegeben. Das Stabendmoment am Knoten b beträgt hier: $M_{ba}^2 = 0$

Wir erhalten demnach:

Knoten b mit Nachbarknoten c

Der Knoten $k = b$ weist noch den benachbarten Knoten $l = c$ auf:

$M_{bc} = M_{bc}^0 + [M_{bc}^1 \cdot Y_1 + M_{bc}^2 \cdot Y_2$

Im geometrisch bestimmten System (0-System) ist die Momentenlinie von Knoten b zu Knoten c gegeben. Das Stabendmoment am Knoten b beträgt hier: $M_{bc}^0 = -16$

Im 1-System ist die Momentenlinie von Knoten b zu Knoten c gegeben. Das Stabendmoment am Knoten b beträgt hier: $M_{bc}^1 = 0,5$

Im 2-System ist die Momentenlinie von Knoten b zu Knoten c gegeben. Das Stabendmoment am Knoten b beträgt hier: $M_{bc}^2 = 0,25$

Wir erhalten demnach:

Knoten c mit Nachbarknoten b

$M_{cb} = M_{cb}^0 + [M_{cb}^1 \cdot Y_1 + M_{cb}^2 \cdot Y_2$

Im geometrisch bestimmten System (0-System) ist die Momentenlinie von Knoten c zu Knoten b gegeben. Das Stabendmoment am Knoten c beträgt hier: $M_{cb}^0 = +16$

Im 1-System ist die Momentenlinie von Knoten c zu Knoten b gegeben. Das Stabendmoment am Knoten c beträgt hier: $M_{cb}^1 = 0,25$

Im 2-System ist die Momentenlinie von Knoten c zu Knoten b gegeben. Das Stabendmoment am Knoten c beträgt hier: $M_{cb}^2 = 0,5$

Wir erhalten demnach:

Knoten c mit Nachbarknoten d

$M_{cd} = M_{cd}^0 + [M_{cd}^1 \cdot Y_1 + M_{cd}^2 \cdot Y_2$

Im geometrisch bestimmten System (0-System) ist die Momentenlinie von Knoten c zu Knoten d nicht gegeben. Das Stabendmoment am Knoten c beträgt hier: $M_{cd}^0 = 0$

Im 1-System ist die Momentenlinie von Knoten c zu Knoten d nicht gegeben. Das Stabendmoment am Knoten c beträgt hier: $M_{cd}^1 = 0$

Im 2-System ist die Momentenlinie von Knoten c zu Knoten d gegeben. Das Stabendmoment am Knoten c beträgt hier: $M_{cd}^2 = 1$

Wir erhalten demnach:

Knoten d mit Nachbarkonten c

$M_{dc} = M_{dc}^0 + [M_{dc}^1 \cdot Y_1 + M_{dc}^2 \cdot Y_2$

Im geometrisch bestimmten System (0-System) ist die Momentenlinie von Knoten d zu Knoten c nicht gegeben. Das Stabendmoment am Knoten d beträgt hier: $M_{dc}^0 = 0$

Im 1-System ist die Momentenlinie von Knoten d zu Knoten c nicht gegeben. Das Stabendmoment am Knoten d beträgt hier: $M_{dc}^1 = 0$

Im 2-System ist die Momentenlinie von Knoten d zu Knoten c gegeben. Das Stabendmoment am Knoten d beträgt hier: $M_{dc}^2 = 0,5$

Wir erhalten demnach:

7. Einzeichnung der Momentenlinie

Wir orientieren uns bei der Einzeichnung der Momentenlinie an der Momentenlinie der Stabendmomente. Wir haben also zum Beispiel das Stabendmoment $M_{ab}$ im 1- System aus der Tabelle mit 0,44 positiv abgelesen. Die Momentenlinie war dort nach rechts gezeichnet. Wir erhalten nun nach der Superposition im Knoten a das Stabendmoment $M_{ab} = 11,44$. Hierbei handelt es sich um ein positives Stabendmoment, die Einzeichnung der Momentenlinie erfolgt also ebenfalls im Knoten a nach rechts. 

Momentenlinie des Ausgangssystems

Zur Intepretation der obigen Grafik ist es sinnvoll alle drei Systeme und ihre Stabendmomente zu betrachten:

Superposition der Momentenlinien unter Berücksichtigung von Y1 und Y2

Betrachten wir als Beispiel den Knoten a, so ergibt sich hier die Momentenlinie des Ausgangssystem aus dem 1-System und dem Vergrößerungsfaktor $Y_1 = 19,7$: $0,22 \cdot 19,7 = 4,33$

Das Stabendmoment im Knoten b für den Stab b-c ergibt sich aus dem 0-System mit -16 zuzüglich 0,5 aus dem 1-System mit dem Vergrößerungsfaktor $Y_1$ zuzüglich 0,25 aus dem 2-System mit dem Vegrößerungsfaktor $Y_2$. Es ergibt sich:$ -16 + 0,5 \cdot 19,7 + 0,25 \cdot (-9,95) = -8,64$.  Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Momentenlinie über der Stabachse (wie im 0-System) abgetragen werden muss. 

Bei dem Stabendmoment im Knoten c für den Stab c-b muss zusätzlich das äußere Moment mitberücksichtigt werden. Für die äußeren Momente gilt die bekannte Vorzeichenregelung, dass linksdrehende Momente positiv berücksichtigt werden (hier also: -6).