Elektrische Größen der Sternschaltung

Nachdem das Funktionsprinzip eines Drehstromgenerators mit Sternschaltung bekannt sein sollte, wenden wir uns nun den Berechnungen zu. Dabei werden wir zuerst die Spannungen bei einer Sternschaltung berechnen und anschließend die zugehörigen Ströme. Die gleiche Vorgehensweise werden wir dann auch im kommenden Text für Dreieckschaltungen verfolgen. 

Spannungen bei einer Sternschaltung

In der nächsten Abbildung siehst du eine Sternschaltung mit drei Strängen. Der Spannungsstern mit den dazugehörigen Sternspannungen und das Spannungsdreieck mit den Dreieckspannungen sind entsprechend eingezeichnet.

Spannungsstern mit Sternspannung

Für die drei Spannungen zwischen je einem Außenleiter und dem Sternpunktleiter, die als Sternspannungen bezeichnet werden, erhält man:

$\ \underline{U}_{1N} = \underline{U}_U $

$\ \underline{U}_{2N} = \underline{U}_V $

$\ \underline{U}_{3N} = \underline{U}_W $

Die Spannungen sind also gleich den drei Strangspannungen. Bei einem symmetrischen Drehstromsystem sind die Effektivwerte $ U_{Stern} $ der Sternspannung daher gleich den Effektivwerten $ U_{st} $ der Strangspannungen. 

$\ U_{Stern} =  U_{st} $

Dies bedeutet, dass zwischen jedem Außenleiter und dem Sternpunktleiter eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Betrag $ U_{Stern} $ zur Verfügung steht. 

Zu den drei bestehenden Sternspannungen sind zwischen den Außenleitern noch weitere drei Wechselspannungen verfügbar. Diese nennt man entweder Dreieckspannungen oder Außenleiterspannungen. 

Die Zeiger der Dreieckspannung bilden ein gleichseitiges Spannungsdreieck [siehe oben]. Dieses Spannungsdreieck umschließt den Spannungsstern. Auch hier sind die Dreieckspannungen zueinander um 120° verschoben. Ferner lässt sich aus dem Spannungsdreieck erlesen, dass die Dreieckspannung der Sternspannung um 30° voreilt.

Beispiel

Auch der Effektivwert ist in der obigen Abbildung enthalten. Betrachtet man daher das durch die Spannungen $ U_1, N, V_1 $ gebildete gleichschenklige Dreieck, so wird

$ U = U_{12} = 2 U_{Stern} \cdot cos 30° = 2 \cdot U_{stern} \sqrt{\frac{3}{2}} $ 

Drückt man diese Gleichung dann noch allgemein aus, so erhält man:

Was kann man mit dieser Gleichung anfangen? 

Wir wissen jetzt: Die drei Dreieckspannungen $ U $ sind $\sqrt{3} $ mal so groß wie die drei Sternspannungen $ U_{Stern} $.

Ströme bei einer Sternschaltung

An die drei Außenleiter $ L_1, L_2, L_3 $ eines Drehstrom-Dreileiternetzes bzw. Drehstrom-Vierleiternetzes werden die Drehstromverbraucher in Sternschaltung angeschlossen. Die Anordnung am Anschlusskasten des Verbrauchers ist in Bezug auf die Anordnung und Bezeichnung der Anschlüsse identisch mit denen des Generators. 

Für eine einfachere Darstellung gehen wir zusätzlich davon aus, dass die Belastung des Drehstromnetzes symmetrisch ist. Das bedeutet, dass ausschließlich Verbraucher angeschlossen werden können, die aus drei gleichen Strängen bestehen.

Beispiel

So kann jeder Strang eines Drehstromverbrauchers als Zweipol dargestellt werden mit entsprechend bekanntem Scheinwiderstand $ Z $ und Phasenverschiebungswinkel $\varphi $.

Liegt nun eine $ U_{st} $ vor, so ist der Effektivwert des Strangstroms allgemein gegeben durch:

 $\varphi $ ist dabei der Phasenverschiebungswinkel der Strangspannung gegen den Strangstrom. 

Bei einer Sternschaltung bilden die drei zusammengeschlossenen Strangenden $ W_2, U_2, V_2 $ den Sternpunkt [siehe Abbildung], so dass an den Strängen die Sternspannungen $\underline{U}_{1N}, \underline{U}_{2N}, \underline{U}_{3N}$ liegen.

Sternschaltung

Aus vorherigen Gleichungen wissen wir, dass

$\ U_{st} = U_{stern} = \frac{U}{\sqrt{3}} $

der Effektivwert jeder Strangspannung ist. 

Zeichnen wir nun ein Zeigerbild für die drei Strangspannungen und die drei Strangströme $ \underline{I}_1, \underline{I}_2, \underline{I}_3 $

Zeigerbild einer Sternschaltung

Betrachtet man das Zeigerbild, bzw. wendet man die Knotenregel auf den Sternpunkt an, so gilt

Übernimmt man nun lediglich die drei Stromzeiger in ein neues Zeigerbild und führt diese zusammen, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck.

Stromzeigeraddition am Sternpunkt

Dabei ergibt die geometrische Addition der drei Zeiger ein Strom von null, da die Summe der drei Strangströme in jedem Augenblick null ist. Sowohl die geometrische Addition als auch die Knotenregel besagen, dass die Summe der Strangströme null ergibt. 

Versieht man den Effektivwert der Außenleiterströme allgemein mit I, so gilt