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Elektrotechnik - Maschensatz, 2. Kirchhoffsches Gesetz

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Elektrotechnik

Maschensatz, 2. Kirchhoffsches Gesetz

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Nachdem das 1. Kirchhoff'sche Gesetz behandelt wurde, kommen wir nun zum 2. Kirchhoff'schen Gesetz, dem Maschensatz. Wie der Name bereits verrät, geht es um die Berechnung der Maschen in einem Gleichstromnetzwerk. 

In der nachfolgenden Abbildung ist eine Masche $ M $ dargestellt, die n-Knoten $ K_1 - K_5 $ mit eindeutigen elektrischen Potenzialen $\varphi_1 - \varphi_5 $ beinhaltet. Zwischen den Knoten liegen $ n $-Zweige aus beliebigen Zweipolen.

Masche mit Zweigen
Masche mit Zweigen

Die zwischen zwei benachbarten Knoten vorliegenden Spannungen $ U_{12}, U_{23}, U_{34}, U_{45}, U_{51} $ können mit der bereits bekannten Gleichung

Methode

$ U_{AB} = \varphi (P_A) - \varphi (P_B) $

bestimmt werden. Die Gleichung besagt, dass die Spannung zwischen zwei Knoten als Differenz der zugehörigen Knotenpotentiale ausgedrückt werden kann.

Hierzu betrachten wir die nächste Abbildung:

Spannungen innerhalb einer Masche
Spannungen innerhalb einer Masche

 Die zu ermittelnden Spannungen errechnen sich jeweils mit:

Methode

$\ U_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 $

$\ U_{23} = \varphi_2 - \varphi_3 $

$\ U_{34} = \varphi_3 - \varphi_4 $

$\ U_{45} = \varphi_4 - \varphi_5 $

$\ U_{51} = \varphi_5 - \varphi_1 $

Dabei können sich die einzelnen Zweigspannungen aus Spannungsabfällen über Widerstände oder Stromquellen oder Quellenspannungen über Spannungsquellen oder einer Kombination daraus zusammensetzen.

Gesamtbilanz 

Merke

Die Gesamtbilanz der Spannungen in einer Masche in Richtung der Spannungszählpfeile muss gleich null ergeben.

In unserem Beispiel muss die Gleichung wie folgt aussehen:

Methode

$ U_{12} + U_{23} + U_{34} + U_{45} + U_{51} =   (\varphi_1 - \varphi_2) +  (\varphi_2 - \varphi_3) + (\varphi_3 - \varphi_4) + (\varphi_4 - \varphi_5) + (\varphi_5 - \varphi_1) = 0 $

Die Umlaufspannung ist stets null, da sich die Potentiale in benachbarten Klammern gegenseitig aufheben. Diese Gegebenheit beschreibt den Maschensatz, dass die Summe aller Spannungen null ergibt. Formal drückt sich dies aus durch:

Methode

Maschensatz: $ \sum_{\nu=1}^{n} U_{\nu} = 0 $

Video: Maschensatz, 2. Kirchhoffsches Gesetz

Video: Maschensatz, 2. Kirchhoffsches Gesetz