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Strömungslehre - Strömungen nicht-kreisförmiger Querschnitte

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Strömungslehre

Strömungen nicht-kreisförmiger Querschnitte

In diesem Abschnitt werden nun nicht mehr Rohre mit einem kreisförmigen Querschnitt betrachtet, sondern mit einem beliebigen Querschnitt. Zur Ermittlung der Rohrreibungszahl $\lambda$ geht man vor, wie in den vorherigen Abschnitten erläutert, mit einem Unterschied: Der Durchmesser des Rohrs wird nun berechnet, indem der hydraulische Durchmesser herangezogen wird. Dieser wird bestimmt mit:

Methode

$D_{hydr} = \frac{4 \cdot \text{Rohrquerschnitt}}{\text{benetzter Umfang}} = \frac{4 \cdot A}{U_{ben}}$.

Der hydraulische Durchmesser geht dann in die Berechnung der Reynolds-Zahl ein:

$Re = \large{\frac{w \cdot d_{hydr}}{\nu}}$.

Merke

Bei den kreisförmigen Querschnitten ist der hydraulische Durchmesser gleich dem tatsächlichen Durchmesser. Bei nicht-kreisförmigen Querschnitten ist dies nicht der Fall.

Weicht der Querschnitt stark von einem kreisförmigen Querschnitt ab, so wird die laminare Strömung bestimmt durch:

Methode

$\lambda = \varphi \frac{64}{Re}$    Laminare Strömung (nicht-kreisförmiger Querschnitt)

Im Gegensatz zu einem kreisförmigen Querschnitt, muss hier noch zusätzlich der Beiwert $\varphi$ berücksichtigt werden, welcher Tabellenwerken zu entnehmen ist. Sind die Querschnitte allerdings kreisähnlich, so kann einfach die bekannte Formel

$\lambda = \frac{64}{Re}$

verwendet werden.

Die kritische Reynolds-Zahl beträgt im Weiteren:

$Re_{krit} = 2.300$.

Anwendungsbeispiel: Verluste bei nicht-kreisförmigen Querschnitten

Strömungen rechteckiger Querschnitt

Beispiel

Durch den oben skizzierten rechteckigen Rohrschacht aus Beton (geschliffen, verputzt) fließt Wasser ($\rho = 999,97 \frac{kg}{m^3}$). Die Länge des Rohrs sei $L = 2 km$. Die Abmessungen sind wie folgt:

$h = 0,8 m$ / $b = 2m$ / $\dot{V} = 900 \frac{m^3}{h}$ / $k = 0,15 mm$ / $\nu = 1,0 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}$.

Wie groß ist der gesamte Druckverlust? Einzelverluste aufgrund von Ein- und Auslässen werden vernachlässigt!

Da die Einzelverluste beim Einlass und Auslass vernachlässigt werden, existieren nur streckenabhängige Verluste, also Verluste aufgrund von Reibung. Da hier der Druckverlust bestimmt werden soll, muss die Bernoullische Druckgleichung herangezogen werden:

$ \small{g \; z_1 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho + p_1 =  g \; z_2 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + p_2 + \xi \frac{\rho \; w_2^2}{2} + \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}}$.


Davon gesamter Druckverlust (Einzelverluste plus streckenabhängige Verluste):

$ \xi \frac{\rho \; w_2^2}{2} + \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}$.

In diesem Fall sind Einzelverluste zu vernachlässigen, also ist der zu bestimmende Druckverlust:

$\triangle p = \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}$.

Berechnung der Rohrreibungszahl

Um die Rohrreibungszahl $\lambda$ zu bestimmen, muss die Reynolds-Zahl $Re$ und die Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$ herangezogen werden.

$Re = \frac{w \cdot d_{hydr}}{\nu}$.


Es wird deutlich, dass die Geschwindigkeit $w$ unbekannt ist. Diese bestimmt sich mittels des Volumenstroms:

$\dot{V} = w \cdot A$    $\rightarrow \; w = \frac{\dot{V}}{A}$.

Der Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks wird bestimmt durch:

$A = h \cdot b = 0,8 m \cdot 2 m = 1,6 m^2$.

$w = \frac{\frac{900}{3.600} \frac{m^3}{s}}{1,6 m^2} = 0,156 \frac{m}{s}$

Es fehlt außerdem noch der hydraulische Durchmesser $d_{hydr}$, welcher sich bestimmt durch:

$d_{hydr} = \frac{4 \cdot A}{U_{ben}} = \frac{4 \cdot (h \cdot b)}{2h + 2b}$

Merke

Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich durch $U = 2 h + 2b$.

$d_{hydr} = \frac{ 4 \cdot 1,6 m^2}{2 \cdot 0,8 m + 2 \cdot 2m} = 1,143 m$.

Es kann nun die Reynolds-Zahl berechnet werden:

$Re = \frac{w \cdot d_{hydr}}{\nu} = \frac{0,156 \frac{m}{s} \cdot 1,143 m}{ 1,0 \cdot 10^{-6} \frac{m^2}{s}} = 178.308$

$Re = 178.308 = 1,78 \cdot 10^5$.

Die ermittelte Reynolds-Zahl liegt oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl, weshalb es sich hier um eine turbulente Strömung handelt. Es muss also noch zusätzlich die Wandrauigkeit $\frac{k}{d}$ herangezogen werden. Es muss auch hier der hydraulische Durchmesser berücksichtigt werden:

$\frac{k}{d_{hydr}} = \frac{0,15 mm}{1.143 mm} = 0,000131 = 1,31 \cdot 10^{-4}$.

Es kann nun die Rohrreibungszahl $\lambda$ aus dem Moody-Diagramm abgelesen werden:

Moody-Diagramm

Die Rohrreibungszahl $\lambda$ beträgt laut Grafik

$\lambda = 0,017$.

Berechnung des Druckverlustes

Es kann nun der Druckverlust bestimmt werden: Auch hier muss der hydraulische Durchmesser berücksichtigt werden:

$\triangle p = \lambda \frac{L}{d_{hydr}} \frac{\rho \; w^2}{2}$.

$\triangle p = 0,017 \frac{2.000 m}{1,143 m} \cdot \frac{999,97 \frac{kg}{m^3} \cdot (0,156 \frac{m}{s})^2}{2} = 361,94 Pa$.

Bei der obigen 2 km-langen Rohrleitung tritt aufgrund der Reibung ein Druckverlust von 361,94 Pa auf. Das bedeutet also, dass am Ende des Rohrs der Druck um 361,94 Pa geringer ist, als am Anfang des Rohrs.

Abschließende Erläuterung

Wenn der Druckverlust also 361,94 Pa beträgt, dann muss $p_1$ um diesen Wert größer sein als $p_2$. Durch Aufstellen der Bernoullischen Druckgleichung kann man das überprüfen:

$ \small{g \; z_1 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho + p_1 =  g \; z_2 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + p_2 + \xi \frac{\rho \; w_2^2}{2} + \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}}$.

Da keine Einzelverluste berücksichtigt werden gilt:

$ \small{g \; z_1 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho + p_1 =  g \; z_2 \; \rho + \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + p_2 + \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}}$.

Es handelt sich hierbei um eine gerade Rohrleitung, es existiert also kein Höhenunterschied, weshalb $z_1 = z_2 = h$. Das führt dazu, dass sich die beiden Terme mit $z_1$ und $z_2$ gegenseitig aufheben:

$ \small{\frac{1}{2} \; w_1^2 \; \rho + p_1 = \frac{1}{2} \; w_2^2 \; \rho + p_2 + \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}}$.

Die Geschwindigkeit bleibt auch konstant, da es sich hier um eine gerade Rohrleitung mit konstantem Volumenstrom und konstantem Querschnitt $A_1 = A_2 = A$ handelt. Deswegen ist $w_1 = w_2$:

$w_1 = w_2 = \frac{\dot{V}}{A} = \frac{\frac{900}{3.600} \frac{m^3}{s}}{1,6 m^2} = 0,156 \frac{m}{s}$.

Es gilt also $w_1 = w_2 = w$ und demnach heben sich die Terme gegenseitig auf:

$ p_1 = p_2 + \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}$.

Es verbleiben die beiden Drücke und der Druckverlust. Umgestellt nach $p_2$ ergibt:

$ p_2 = p_1 - \lambda \frac{L}{d} \frac{\rho \; w^2}{2}$.

Der Druck $p_2$ ist genau um diesen oben berechneten Druckverlust geringer als $p_1$. Grund dafür ist die Reibung des Wassers an dem Rohr aus Beton. Aufgrund der Reibung wird ein Teil der kinetischen Energie in Wärme umgewandelt. Das bedeutet also die kinetische Energie sinkt aufgrund der Wärmeabfuhr. Das führt wiederum dazu, dass auch der Druck abnimmt.