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1. Im ersten Schritt bestimmen wir die Gleichungen zur Ermittlung der Sinusströme aus der Sinusspannung:
Hierzu legen wir eine Sinusspannung $u$ nacheinander an einen Widerstand $R$, eine Spule [Induktivität] $L$ und einen Kondensator $C$. Um den zeitlichen Verlauf des Stromes $ i $ im betreffenden Bauteil bestimmen zu können, bedienen wir uns den bereits bekannten Spannungsgleichungen aus dem Gleichstromkreis.
Widerstand
Spannungsgleichung $ u = i \cdot R$
Induktivität
Spannungsgleichung: $ u = L \cdot \frac{di}{dt} $
Kondensator
Spannungsgleichung: $ u = \frac{1}{C} \int i dt $
Sinusströme
Legen wir nun an die besagten drei Bauteile eine Sinusspannung nach
$ u = \sqrt{2} U \cdot sin (\omega t)$ an, so erhalten wir mit Hilfe der obigen Gleichungen die drei gesuchten Stromgleichungen:
Methode
Sinusstrom in Induktivität: $ i_L = \frac{1}{L} \int u dt \Longrightarrow i_L = - \sqrt{2} \frac{U}{\omega L} \cdot cos (\omega t) $
Sinusstrom im Kondensator: $ i_C = C \frac{du}{dt} \Longrightarrow i_C = \sqrt{2} U \omega C \cdot cos (\alpha) $
Unter Verwendung der Gleichung
$ -cos (\omega t )= sin (\omega t - \frac{\pi}{2}) $
ändern sich unsere Gleichungen zu:
$ i_R = \sqrt{2} \frac{U}{R} \cdot sin (\omega t )$ [bleibt]
$ i_L = \sqrt{2} \frac{U}{\omega L} \cdot sin (\omega t - \frac{\pi}{2}) $ [neuer Term, Änderung des Vorzeichens]
$ i_C = - \sqrt{2} U \omega C \cdot sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$ [neuer Term, Änderung des Vorzeichens]
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