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Elektrotechnik

Kennwerte

Bei der rotatorischen Spannungserzeugung in einem Generator wird eine zeitlich sinusförmig verlaufende und sich gleichzeitig periodisch wiederholende Wechselspannung erzeugt. In diesem Kurstext werden wir auf die für einen Sinusstrom und eine Sinusspannung zugehörigen Kenngrößen eingehen. Diese Kenngrößen lassen sich ohne weiteres auf andere Sinusgrößen übertragen. 

Amplitude

Bei Sinusgrößen wie dem Sinusstrom oder der Sinusspannung sind der Maximal- und Minimalwert betragsmäßig gleich groß und entsprechen dem Scheitelwert [$\hat{i} \hat{u} $], den man bei Sinusgrößen alternativ als Amplitude bezeichnet. Um diesen Sachverhalt für den Sinusstrom und die Sinusspannung zu verdeutlichen, siehe die nachfolgenden Ungleichungen:

  • Sinusstrom: $ i_{max} = | i_{min} | = \hat{i} > 0 $
  • Sinusspannung: $ u_{max} = | u_{min} | = \hat{u} > 0 $

Periodendauer, Kreisfrequenz, Frequenz

Im Gegensatz zu anderen allgemeinen Wechselgrößen enthält eine Sinusgröße nur eine Frequenz $ f $, die dem Kehrwert ihrer Periodendauer $ T$ entspricht. Dabei ist $ T $ die Zeit für eine volle Periode:

Merke

Frequenz: $ f = \frac{1}{T} $

Aus der Bedingung $\omega t = 2 \pi $ und der Gleichung für die Frequenz $ f $ ergibt sich die Kreisfrequenz $\omega $.

Merke

Kreisfrequenz: $ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \ f $

An der Gleichung für die Kreisfrequenz ist zu erkennen, dass sich $\omega $ um den Faktor $\ 2\pi \ $ von der Frequenz $ f $ unterscheidet. 

Methode

Die Einheit der Kreisfrequenz ist nicht wie bei der Frequenz 1/s = 1 Hertz = 1 Hz, sondern lediglich 1/s. 

Die Einheit der Kreisfrequenz darf nicht in der Einheit Hertz angegeben werden. 


Effektivwert

Der Effektivwert ist der quadratische Mittelwert einer Wechselgröße/Sinusgröße über eine Periodendauer T. Für eine Sinusspannung $u $ und einen Sinusstrom $i $ mit den Zeitfunktionen

$ u = \hat{u} sin \omega t $ und $ i = \hat{i} sin \omega t $

sind die Effektivwerte $ U $ und $ I $ beschrieben durch:

Merke

Effektivwert Sinusspannung: $ U = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T u^2 dt} $

Effektivwert Sinusstrom: $ I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt} $

Setzt man nun die Zeitfunktionen in die entsprechende Gleichung für den Effektivwert ein, so erhält man bei Sinusgrößen allgemein die Effektivwerte

$ U = \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} = 0,707 \hat{u} $

$ I = \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}} = 0,707 \hat{i} $

Die Wechselgrößen werden nach den Effektivwerten benannt, die durch Spannungsmesser und Strommesser erfasst werden können. Die Augenblickwerte $ u $ und $ i $ hingegen lassen sich mit einem Oszilloskop darstellen. 

Nullphasenwinkel

Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass unsere Zeitrechnung $ t=0 $ für den Sinusstrom und die Sinusspannung beim positiven Nulldurchgang beginnt. Ist dies bei $ t=0 $ nicht der Fall, kann diese Verschiebung bei der Sinusspannung $ u $ mit einem Nullphasenwinkel $\varphi_u $ und bei dem Wechselstrom $ i $ mit einem Nullphasenwinkel $\varphi_i $ bestimmt werden. Die allgemeinen Gleichungen der Wechselgrößen ändern sich dann zu:

Sinusspannung: $ u = \sqrt{2} U sin (\omega t) \rightarrow u = \sqrt{2} U sin (\omega t + \varphi_u) $

Sinusstrom: $ i = \sqrt{2} I sin (\omega t) \rightarrow i = \sqrt{2} I sin (\omega t + \varphi_i) $

Methode

Der Grund für die Bestimmung der Nullphasenwinkel liegt darin, dass die zeitliche Verschiebung dieser zwei Sinusgrößen vom Achsenursprung durch Winkel dargestellt wird. Die Nullphasenwinkel können im Bogenmaß oder im Gradmaß angegeben werden.