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Elektrotechnik - Leistung, Leistungsfaktor, Arbeit

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Elektrotechnik

Leistung, Leistungsfaktor, Arbeit

In diesem Kurstext behandeln wir die Leistung, den Leistungsfaktor und die Arbeit bei einem Wechselstrom.

Leistung

Um die Leistung in einem Wechselstrom zu bestimmen, geht man vom allgemein gültigen Gesetz für den Augenblickwert $ P_t $ der elektrischen Leistung aus. Diese ist definiert durch:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Augenblickwert: $ P_t = u \cdot i $

Für eine genaue Berechnung bedient man sich der Zeitfunktionen der Spannung und des Stroms. Diese sind definiert durch:

Zeitfunktion der Spannung: $ u = \sqrt{2} \cdot U \cdot \sin (\omega t + \varphi_u) $

Zeitfunktion des Stroms: $ i = \sqrt{2} \cdot I \cdot \sin (\omega t + \varphi_i) $.


Diese beiden Zeitfunktionen setzt man unter zur Hilfenahme der Beziehung

$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)] $

sowie

$ \varphi  = \varphi_u - \varphi_i $ 

in die Gleichung für den Augenblickwert ein, so erhält man:

$ P_t = \sqrt{2} \cdot U \cdot \sin( \omega t + \varphi_u) \sqrt{2} \cdot I \cdot \sin(\omega t + \varphi_i ) $

bzw.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $ P_t = 2 \cdot U \cdot I \frac{1}{2} \cdot [ \varphi - \cos (2 \omega t + \varphi_u + \varphi_i)] $

Multipliziert man diese Gleichung aus, so erhält man die allgemeingültige Gleichung für einen Zweipol mit:

$ P_t = U \cdot I \cdot \cos \varphi - U \cdot I \cdot \cos ( 2 \omega t + \varphi_u + \varphi_i) $

oder verkürzt ausgedrückt: 

$ p = P - P_{\backsim} $

Wirkleistung

Wie wir gerade bestimmt haben, setzt sich der Augenblickwert $ P_t $ der elektrischen Leistung beim Wechselstrom aus zwei Anteilen zusammen: 

1. Dem Wechselanteil $ P_{\backsim} $ der Leistung. Dieser schwingt mit der Amplitude $  U \cdot I $ und der doppelten Frequenz des Wechselstroms um die Wirkleistung $ P $ sinusförmig. Letzteres bedeutet, dass der Wechselanteil im Mittel keinen Betrag zur Leistung liefert.

2. Dem zeitlich konstanten Mittelwert der Leistung. Man bezeichnet diesen Wert als Wirkleistung und beschreibt ihn formal durch:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Wirkleistung: $ P = U \cdot I \cdot \cos \varphi $

Der Augenblickwert schwankt um diesen Mittelwert nach einer sinusförmigen Zeitfunktion mit der Kreisfrequenz $2 \omega $.


Vergleich Leistung, Gleichstrom und Wechselstrom:

Beim Gleichstrom errechnet sich die Leistung durch:  $ P = U \cdot I $

Beim Wechselstrom ergibt sich die Leistung hingegen durch: $ P = U \cdot I \cdot \cos \varphi $

Blindleistung und Scheinleistung

Neben der Wirkleistung gilt es auch die Blindleistung und Scheinleistung für einen Wechselstrom zu definieren. Diese beiden Leistungsgrößen haben die Besonderheit, dass sie physikalisch nicht real sind und lediglich zweckmäßig gewählte Rechengrößen darstellen. Die Blindleistung erhielt ihren Namen daher, dass der zwischen Verbraucher und Generator pendelnde Leistungsanteil nichts bewirkt. 

Die Blindleistung für einen Zweipol ist definiert durch:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Blindleistung: $ Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi $

$\rightarrow $ Angabe in Voltampere reactif  $ Q = 1 W = 1 var $

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Liegt ein Phasenwinkel von $\varphi = 90 ° $ vor, so tritt eine reine Blindleistung auf. 

Die Scheinleistung ist definiert durch:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Scheinleistung: $ S = U \cdot I$

$\rightarrow $  Angabe in Voltampere $ S = 1 W = 1 V \dot A $ 

Die Wirkleistung und die Blindleistung können einen maximalen Betrag ohne Berücksichtigung der Phasenverschiebung annehmen. Diese Leistung als Produkt aus Strom und Spannung stellt die Scheinleistung dar.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Vielleicht ist Ihnen aufgefallen, dass die Wirkleistung P in W (Watt), die Blindleistung in var (Var) und die Scheinleistung in VA (Voltampere) angegeben wird. Dies dient dazu die drei Größen eindeutig voneinander unterscheiden zu können. Dennoch gilt: $1 W = 1 var = 1 VA$.

Leistungsfaktor

Der Leistungsfaktor drückt den Anteil im Verbraucher aus, der von der maximal möglichen Leistung umgesetzt wird. Er errechnet sich aus dem Verhältnis von Wirkleistung und Scheinleistung. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Leistungsfaktor: $  \cos \varphi = \frac{P}{S} $

Arbeit

So wie wir für die Leistung die Blind- und Scheinleistung formal bestimmt haben, formulieren wir nun die notwendigen Gleichungen für die Arbeit.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Die elektrische Arbeit ergibt sich sowohl beim Wechselstrom wie auch beim Gleichstrom aus dem Produkt von Leistung und Zeitspanne.

Dies macht es natürlich einfach die Wirkarbeit, die Blindarbeit und die Scheinarbeit aus den Gleichungen der Leistung zu erzeugen:

Wirkarbeit: $ W = P \cdot t $

Blindarbeit: $ W_q = Q \cdot t $

Scheinarbeit: $ W_s = S \cdot t $