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Elektrotechnik - Kirchhoff'sche Regeln bei Wechselstrom

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Elektrotechnik

Kirchhoff'sche Regeln bei Wechselstrom

Wie Sie der Liste auf der vorangegangenen Seite entnehmen konnten, beginnen wir erneut mit den Kirchhoff'schen Regeln, nun aber nicht mehr für einen Gleichstromkreis, sondern für einen Wechselstromkreis. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Zur Erinnerung:

Knotenregel für die Ströme im Gleichstromkreis: $\sum I_{zu} = \sum I_{ab} $.

Maschenregel für Spannungen im Gleichstromkreis: $\sum U = 0 $ 

Im Allgemeinen gelten die Kirchhoff'schen Regeln für die Augenblickwerte der Wechselströme $ i $ und der Wechselspannungen $ u $ von beliebigen zeitlichen Verlauf, dies schließt auch nicht sinusförmige Verläufe ein. Somit sind die Gleichungen für den Wechselstrom:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Knotenregel: $\sum i_{zu} = \sum i_{ab} $

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Maschenregel: $\sum u = 0 $

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Man kann also sagen, dass die Regeln für Gleichstrom Spezialfälle der allgemein gültigen Regeln sind.

Zusammensetzung von Zeigern

Beim Wechselstrom erfordert die Knotenregel die Zusammensetzung der Augenblickwerte von Wechselströmen und die Maschenregel die Zusammensetzung der Augenblickwerte von Wechselspannungen. Bei einem sinusförmigen Verlauf der Wechselgrößen ist die rechnerische Durchführung mit Strom- und Spannungsgleichungen viel schwieriger als diejenige mit Zeigern, weshalb letztere nun erläutert werden soll.

In der nachfolgenden Abbildung sehen sie zwei Scheinwiderstände in einer Wechselstromschaltung.

Wechselstromschaltung mit Scheinwiderständen
Wechselstromschaltung mit Scheinwiderständen

An den Widerständen liegen zwei sinusförmige Wechselspannungen gleicher Frequenz mit den Effektivwerten $ U_1 $ und $ U_2 $ vor. Diese sind in der Abbildung mit den Zählpfeilen $ u_1 $ und $ u_2 $ dargestellt. Die Spannungen sind um den Winkel $\varphi_{12} $ gegeneinander versetzt. 

Nun sollen der Effektivwert $ U $ und der Winkel $\varphi_{1u}$ der Wechselspannung $ u_1 $ bestimmt werden. Hierzu nehmen wir wieder die allgemeine Maschenregel zur Hand:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $ u = u_1 + u_2 $

Die Projektion eines Zeigers, dessen Betrag der Amplitude der betreffenden Wechselgröße entspricht, stellt auf der Ordinate ihren jeweiligen Augenblickswert dar. Hierfür betrachten wir die nächste Abbildung: 

Rotierende Spannungszeiger
Rotierende Spannungszeiger

Für die Zeiger $\sqrt{2} U_1 $ und $\sqrt{2} U_2 $ ergeben sich die Augenblickswerte $ u_1 $ und $ u_2 $ in einem beliebigen Zeitpunkt. Setzt man nun, wie in der nächsten Abbildung gezeigt, den Zeiger $\sqrt{2} U_1 $ durch Parallelverschiebung an die Spitze des Zeigers $\sqrt{2} U_2 $, so ergibt sich der Zeiger $\sqrt{2} U $.

Rotierende Spannungszeiger und resultierende Spannungszeiger
Rotierende Spannungszeiger und resultierende Spannungszeiger

Die Projektion dieses Zeigers auf die Ordinate ist 

$\ u = u_1 + u_2 $. 

Deshalb ist $\sqrt{2} U $ der gesuchte Spannungszeiger. Und unter Berücksichtigung der Zeigerdarstellung erhält man:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $ \underline{U} = \underline{U}_1 + \underline{U}_2 $ 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Zeiger werden wie Vektoren in der Statik geometrisch zusammengesetzt. Man muss also sowohl den Betrag als auch die Richtung berücksichtigen. Aus diesem Grund verwendet man in Schaltplänen von Wechselstromschaltungen anstelle der Zählpfeile $ u $ und $ i $ die Zeiger $ \underline{U} $ und $\underline{I} $. 

Bei einer maßstäblichen Einzeichnung [unter Achtung der Phasenlage], wie sie in der nächsten Abbildung durchgeführt wurde, können die Effektivwerte $ U $ und der Winkel $ \varphi_{1u} $ der gesuchten Spannung durch Abmessung grafisch ermittelt werden.

Geometrische Zusammensetzung der Zeiger
Geometrische Zusammensetzung der Zeiger

Die dazugehörigen Rechnungen für Effektivwerte und Winkel sind dann:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Effektivwert: $ U = \sqrt{U_1^2 + U_2^2 + 2 U_1 \cdot U_2 \cdot \cos\varphi_{12}} $

Winkel: $ cos\varphi_{1u} = \frac{U^2 + U_1^2 - U_2^2}{2 \cdot U \cdot U_1} $ 

Die grafische Zusammensetzung von Stromzeigern erfolgt analog hierzu:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Effektivwert: $ I = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 + 2 I_1 \cdot I_2 \cdot \cos\varphi_{12}} $

Winkel: $ cos\varphi_{1i} = \frac{I^2 + I_1^2 - I_2^2}{2 \cdot I \cdot I_1} $ 

Zusammensetzung sinusförmiger Spannungen und Ströme

Abschließend gehen wir noch einmal kurz auf sinusförmige Spannungen und Ströme ein. Deren Zusammensetzung wird für die Augenblickwerte und die Zeiger unterschiedlich erfasst.

Algebraische Erfassung für die Augenblickwerte: 

$ u = u_1 + u_2 + u_3 + .... $ und

$ i = i_1 + i_2 + i_3 $

Geometrische Erfassung für die Zeiger:

$ \underline{U} = \underline{U}_1 + \underline{U}_2 + \underline{U}_3 + .... $ und 

$ \underline{I} = \underline{I}_1 + \underline{I}_2 + \underline{I}_3 + .... $

Die Kirchoff'schen Regeln bei sinusförmigen Wechselgrößen in der Schreibweise mit Strom- und Spannungszeigern sind daher:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Knotenregel: $\sum \underline{I}{zu} = \sum \underline{I}{ab} $

Maschenregel: $\sum \underline{U} = 0 $

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Bedenken Sie bitte immer, dass sich die Regeln im Fall von Wechselstrom auf die Zeiger und nicht auf die Beträge beziehen.