Wie du der Liste auf der vorangegangenen Seite entnehmen konntest, beginnen wir erneut mit den Kirchhoff'schen Regeln, nun aber nicht mehr für einen Gleichstromkreis, sondern für einen Wechselstromkreis.
Methode
Zur Erinnerung:
Knotenregel für die Ströme im Gleichstromkreis: $\sum I_{zu} = \sum I_{ab} $.
Maschenregel für Spannungen im Gleichstromkreis: $\sum U = 0 $
Im Allgemeinen gelten die Kirchhoff'schen Regeln für die Augenblickwerte der Wechselströme $ i $ und der Wechselspannungen $ u $ von beliebigen zeitlichen Verlauf, dies schließt auch nicht sinusförmige Verläufe ein. Somit sind die Gleichungen für den Wechselstrom:
Methode
Knotenregel: $\sum i_{zu} = \sum i_{ab} $
Methode
Maschenregel: $\sum u = 0 $
Merke
Zusammensetzung von Zeigern
Beim Wechselstrom erfordert die Knotenregel die Zusammensetzung der Augenblickwerte von Wechselströmen und die Maschenregel die Zusammensetzung der Augenblickwerte von Wechselspannungen. Bei einem sinusförmigen Verlauf der Wechselgrößen ist die rechnerische Durchführung mit Strom- und Spannungsgleichungen viel schwieriger als diejenige mit Zeigern, weshalb letztere nun erläutert werden soll.
In der nachfolgenden Abbildung erkennst du zwei Scheinwiderstände in einer Wechselstromschaltung.
An den Widerständen liegen zwei sinusförmige Wechselspannungen gleicher Frequenz mit den Effektivwerten $ U_1 $ und $ U_2 $ vor. Diese sind in der Abbildung mit den Zählpfeilen $ u_1 $ und $ u_2 $ dargestellt. Die Spannungen sind um den Winkel $\varphi_{12} $ gegeneinander versetzt.
Nun sollen der Effektivwert $ U $ und der Winkel $\varphi_{1u}$ der Wechselspannung $ u_1 $ bestimmt werden. Hierzu nehmen wir wieder die allgemeine Maschenregel zur Hand:
Methode
$ u = u_1 + u_2 $
Die Projektion eines Zeigers, dessen Betrag der Amplitude der betreffenden Wechselgröße entspricht, stellt auf der Ordinate ihren jeweiligen Augenblickwert dar. Hierfür betrachten wir die nächste Abbildung:
Für die Zeiger $\sqrt{2} U_1 $ und $\sqrt{2} U_2 $ ergeben sich die Augenblickwerte $ u_1 $ und $ u_2 $ in einem beliebigen Zeitpunkt. Setzt man nun, wie in der nächsten Abbildung gezeigt, den Zeiger $\sqrt{2} U_1 $ durch Parallelverschiebung an die Spitze des Zeigers $\sqrt{2} U_2 $, so ergibt sich der Zeiger $\sqrt{2} U $.
Die Projektion dieses Zeigers auf die Ordinate ist
$\ u = u_1 + u_2 $.
Deshalb ist $\sqrt{2} U $ der gesuchte Spannungszeiger. Und unter Berücksichtigung der Zeigerdarstellung erhält man:
Methode
Merke
Bei einer maßstäblichen Einzeichnung [unter Achtung der Phasenlage], wie sie in der nächsten Abbildung durchgeführt wurde, können die Effektivwerte $ U $ und der Winkel $ \varphi_{1u} $ der gesuchten Spannung durch Abmessung grafisch ermittelt werden.
Die dazugehörigen Rechnungen für Effektivwerte und Winkel sind dann:
Methode
Winkel: $ cos\varphi_{1u} = \frac{U^2 + U_1^2 - U_2^2}{2 \cdot U \cdot U_1} $
Die grafische Zusammensetzung von Stromzeigern erfolgt analog hierzu:
Methode
Winkel: $ cos\varphi_{1i} = \frac{I^2 + I_1^2 - I_2^2}{2 \cdot I \cdot I_1} $
Zusammensetzung sinusförmiger Spannungen und Ströme
Abschließend gehen wir noch einmal kurz auf sinusförmige Spannungen und Ströme ein. Deren Zusammensetzung wird für die Augenblickwerte und die Zeiger unterschiedlich erfasst.
Algebraische Erfassung für die Augenblickwerte:
$ u = u_1 + u_2 + u_3 + .... $ und
$ i = i_1 + i_2 + i_3 $
Geometrische Erfassung für die Zeiger:
$ \underline{U} = \underline{U}_1 + \underline{U}_2 + \underline{U}_3 + .... $ und
$ \underline{I} = \underline{I}_1 + \underline{I}_2 + \underline{I}_3 + .... $
Die Kirchoff'schen Regeln bei sinusförmigen Wechselgrößen in der Schreibweise mit Strom- und Spannungszeigern sind daher:
Methode
Maschenregel: $\sum \underline{U} = 0 $
Merke
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