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Elektrotechnik

Reihenschwingkreise

Je nachdem wie die Energiespeicher, hier Induktivität und Kondensator, im Schaltplan angeordnet sind, spricht man entweder von einem Reihenschwingkreis oder von einem Parallelschwingkreis. In der nachfolgenden Abbildung sehen Sie einen Reihenschwingkreis im Schaltbild.

Reihenschwingkreis
Reihenschwingkreis

In dieser Abbildung sind alle auftretenden Spannungen und Ströme eingezeichnet. Es handelt sich um die Spannungen $ \underline{U}, \underline{U}_R, \underline{U}_L, \underline{U}_C $ und den Netzstrom $ \underline{I} $.

Unter Verwendung der Maschenregel erhalten wir für die Netzspannung entsprechend die Gleichung:

Netzspannung: $\underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_L + \underline{U}_C $

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen Im weiteren Vorgehen orientieren wir uns an der bisherigen Vorgehensweise für Reihenschaltungen.

1. Erstelle das Zeigerbild eines Reihenschwingkreises

Das zugehörige Zeigerbild unterscheidet sich ein wenig von den bisherigen Zeigerbildern. Da der Strom in allen Schaltelementen identisch ist, zeichnen wir wie gehabt zuerst den gemeinsamen Stromzeiger ein. 

1. Der Spannungszeiger des Widerstandes $\underline{U}_R $ liegt in der gleichen Phase wie der Stromzeiger und wird entsprechend eingezeichnet. 

2. Der Spannungszeiger der Induktivität $\underline{U}_L $ wird im 90° Winkel zum Spannungszeiger $\underline{U}_R $ mit dem Ende an dessen Spitze eingezeichnet. 

3. Der Spannungszeiger des Kondensators $\underline{U}_C $ hingegen verläuft gegenläufig zum Spannungszeiger $\underline{L} $ und wird entsprechend eingezeichnet.

4. Nach dem alle Spannungszeiger eingezeichnet sind, fehlt nur noch der Spannungszeiger der Netzspannung. Dieser verläuft vom Ende des Spannungszeigers $\underline{U}_R $ hin zur Spitze des Spannungszeigers $\underline{U}_C $.

Zeigerbild eines Reihenschwingkreises
Zeigerbild eines Reihenschwingkreises

Im letzten Schritt ergänzen wir die Abbildung wie gehabt durch den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ und sehen, dass dieser positiv ist. 

Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild
Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Nun liegen wieder alle notwendigen Angaben zur Bestimmung der Netzspannung $ U $ und des Phasenverschiebungswinkels $\varphi $ vor.

2. Berechne die Netzspannung und den Phasenverschiebungswinkel

Beide Größen können aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck ermittelt werden. In den nachfolgenden Gleichungen sind die Beträge der Zeiger, also ihre Effektivwerte, enthalten:

1. $ U_R = I \cdot R  $,

2. $ U_L = I \cdot \omega \cdot L $ und

3. $ U_C = \frac{I }{\omega \cdot C} $.

Damit der Satz des Pythagoras angewendet werden kann, gilt es die Strecke außerhalb des rechtwinkligen Dreiecks, hier die Strecke des Spannungszeigers $\underline{U}_C $, aus der Berechnung zu subtrahieren.

Aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck erhält man unter Anwendung des Satzes von Pythagoras 

$ U = \sqrt{U_R^2 + ( U_L - U_C)^2} $

Setzt man die obigen drei Gleichungen nun in den Pythagorassatz ein, so erhält man:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Netzspannung: $ U = I \sqrt{R^2 + (\omega \cdot L - \frac{1}{\omega \cdot C})^2} $

Der Phasenverschiebungswinkel errechnet sich aus dem Zeigerbild

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Phasenverschiebungswinkel: $ tan \varphi = \frac{U_L - U_C}{U_R} = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega \cdot C}}{R} $

Soweit dürften Ihnen die Berechnungen und deren Ablauffolge bekannt sein. Neu ist nun die Bestimmung der Resonanz für den Reihenschwingkreis:

3. Berechne die Resonanz

Die Gleichungen für die Netzspannung und den Phasenverschiebungswinkel zeigen, dass bei einer gegebenen Netzspannung U und einem gegebenen Widerstand $ R $ der Netzstrom $ I $ bei dieser Resonanz [Reihenresonanz] den Maximalwert

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Thomsonsche Formel: Maximalwert $ I_{max} = \frac{U}{R} $ 

annimmt, wenn 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $\omega \cdot L - \frac{1}{\omega \cdot C} = 0 $ 

wird.

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen Die vorletzte Gleichung ist eine der Thomsonschen Formeln. Auf diese Thomsonsche Formel und die Thomsonsche Formel für Parallelschwingkreise, sowie ihre Zusammenhänge wird im kommenden Kurstext eingegangen. 

4. Stelle die Resonanz im Zeigerbild dar

Auch vom Wirkungsprinzip der Resonanz lässt sich ein Zeigerbild erstellen. Für den Reihenschwingkreis ist diese nachfolgend dargestellt.

Darstellung der Reihenresonanz
Darstellung der Reihenresonanz

Im Zeigerbild sehen Sie, dass sich die Teilspannungen $ \underline{U}_L $ und $\underline{U}_C $ gegenseitig aufheben.

Daraus folgt dann:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $\underline{U}_L = - \underline{U}_C \rightarrow \underline{U} = \underline{U}_R $ sowie  

$ U_L = U_C \rightarrow U = U_R $