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Wechselstrom > Wechselstromkreise > Komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen:

Komplexe Widerstände und Leitwerte

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
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[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Neben den komplexen Spannungen und Strömen, gilt es meistens auch die komplexen Widerstände und die komplexen Leitwerte zu bestimmen. 

Komplexer Widerstand

Unter Verwendung der Gleichungen aus dem vorherigen Kurstext für Spannungen und Ströme lässt sich für den komplexen Widerstand $\underline{Z} =\frac{\underline{U}}{\underline{I}} $ nachfolgende Gleichung aufstellen:

Merke

$\underline{Z} = R + j \cdot (X_L + X_C) $ oder

$\underline{Z} = \frac{U\cdot e^{j\varphi_u}}{I\cdot e^{j\varphi_i}} = Z \cdot e^{j\varphi}$.

Die Größen $ Z $ und $\varphi $ ergeben sich dann aus den beiden Gleichungen:

  • $ Z = \frac{U}{I} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
  • $ \varphi = arctan\frac{X_L - X_C}{R} $

Komplexer Leitwert

Analog verhält sich die Vorgehensweise für den komplexen Leitwert. Der komplexe Leitwert $\underline{Y} = \frac{\underline{I}}{\underline{I}} = \frac{1}{\underline{Z}}$ ist formal beschrieben durch:

Merke

$\underline{Y} = G + j \cdot(B_C - B_L) $ oder

$\underline{Y} = \frac{1}{Z \cdot e^{j\varphi}} = Y e^{-j\varphi} $

Hier sind die Größen $ Y $ und $ \varphi $ definiert durch:

$ Y = \frac{I}{U} = \sqrt{G^2 + (B_L - B_C)^2} $

$\varphi = arctan\frac{B_L - B_C}{G} $ 

Methode

Die Lösungen, die man aus den Berechnungen von einem komplexen Widerstand und einem komplexen Leitwert erhält stellen in der komplexen $ \underline{Z}- $ , bzw. $\underline{Y}- $ Ebene jeweils einen einzelnen Punkt dar.  Diesen Sachverhalt sehen Sie in der nächsten Abbildung. Hier wurden zwei Komplexe Widerstände und zwei komplexe Leitwerte dargestellt. 
Komplexe Widerstände und Leitwerte im Zeigerbild
Komplexe Widerstände und Leitwerte im Zeigerbild

Die Regeln für Ohmsche Widerstände und Leitwerte bei Reihen- und Parallelschaltung im Gleichstromkreis gelten bei Wechselstrom für die komplexen Scheinwiderstände und Scheinleitwerte. 

Es werden bei einer Reihenschaltung die einzelnen komplexen Widerstände addiert:

Merke

Komplexe Widerstände in Reihenschaltungen:

$\underline{Z} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + \underline{Z}_3 + \underline{Z}_4 + ... = \sum R + j \cdot [\sum X_L - \sum X_C] $

Bei einer Parallelschaltung hingegen addieren sich die einzelnen komplexen Leitwerte:

Merke

Komplexe Leitwerte in Parallelschaltungen:

$\underline{Y} = \underline{Y}_1 + \underline{Y}_2 + \underline{Y}_3 + \underline{Y}_4 + ... = \sum G + j \cdot [\sum B_C - \sum B_L] $
Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Komplexe Widerstände und Leitwerte ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Elektrotechnik.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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    • Einleitung zu Einführung in die Elektrotechnik
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    • Einführung Gleichstrom
    • Elektrische Größen
      • Einleitung zu Elektrische Größen
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      • Elektrischer Stromkreis
      • Elektrischer Leitwert und Elektrischer Widerstand
    • Gleichstromkreise
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      • Schaltung von Widerständen
        • Einleitung zu Schaltung von Widerständen
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        • Nichtlineare Widerstände
        • Symmetrie der Strom-Spannungs-Kennlinie
        • Temperaturabhängigkeit von Widerständen
        • Reihenschaltung von Widerständen in Gleichstromkreisen
        • Parallelschaltung von Widerständen in Gleichstromkreisen
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        • Kombination von Reihenschaltung und Parallelschaltung
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