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Elektrotechnik - Komplexe Widerstände und Leitwerte

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Elektrotechnik

Komplexe Widerstände und Leitwerte

Neben den komplexen Spannungen und Strömen gilt es meistens auch die komplexen Widerstände und die komplexen Leitwerte zu bestimmen. 

Komplexer Widerstand

Unter Verwendung der Gleichungen aus dem vorherigen Kurstext für Spannungen und Ströme lässt sich für den komplexen Widerstand $\underline{Z} =\frac{\underline{U}}{\underline{I}} $ nachfolgende Gleichung aufstellen:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $\underline{Z} = R + j \cdot (X_L + X_C) $ oder

$\underline{Z} = \frac{U\cdot e^{j\varphi_u}}{I\cdot e^{j\varphi_i}} = Z \cdot e^{j\varphi}$.

Die Größen $ Z $ und $\varphi $ ergeben sich dann aus den beiden Gleichungen:

  • $ Z = \frac{U}{I} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
  • $ \varphi = arctan\frac{X_L - X_C}{R} $

Komplexer Leitwert

Analog verhält sich die Vorgehensweise für den komplexen Leitwert. Der komplexe Leitwert $\underline{Y} = \frac{\underline{I}}{\underline{I}} = \frac{1}{\underline{Z}}$ ist formal beschrieben durch:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $\underline{Y} = G + j \cdot(B_C - B_L) $ oder

$\underline{Y} = \frac{1}{Z \cdot e^{j\varphi}} = Y e^{-j\varphi} $

Hier sind die Größen $ Y $ und $ \varphi $ definiert durch:

$ Y = \frac{I}{U} = \sqrt{G^2 + (B_L - B_C)^2} $

$\varphi = arctan\frac{B_L - B_C}{G} $ 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Die Lösungen, die man aus den Berechnungen von einem komplexen Widerstand und einem komplexen Leitwert erhält, stellen in der komplexen $ \underline{Z}- $  bzw. $\underline{Y}- $ Ebene jeweils einen einzelnen Punkt dar. Diesen Sachverhalt sehen Sie in der nächsten Abbildung. Hier wurden zwei komplexe Widerstände und zwei komplexe Leitwerte dargestellt. 
Komplexe Widerstände und Leitwerte im Zeigerbild
Komplexe Widerstände und Leitwerte im Zeigerbild

Die Regeln für Ohmsche Widerstände und Leitwerte bei Reihen- und Parallelschaltung im Gleichstromkreis gelten bei Wechselstrom für die komplexen Scheinwiderstände und Scheinleitwerte. 

Es werden bei einer Reihenschaltung die einzelnen komplexen Widerstände addiert:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Komplexe Widerstände in Reihenschaltungen:

$\underline{Z} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2 + \underline{Z}_3 + \underline{Z}_4 + ... = \sum R + j \cdot [\sum X_L - \sum X_C] $

Bei einer Parallelschaltung hingegen addieren sich die einzelnen komplexen Leitwerte:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Komplexe Leitwerte in Parallelschaltungen:

$\underline{Y} = \underline{Y}_1 + \underline{Y}_2 + \underline{Y}_3 + \underline{Y}_4 + ... = \sum G + j \cdot [\sum B_C - \sum B_L] $