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Elektrotechnik

Parallelschwingkreise

Im vorangegangenen Kurstext haben Sie einen Reihenschwingkreis kennengelernt. Eine weitere Art von Schwingkreis stellt der Parallelschwingkreis dar. Dieser ist in der nachfolgenden Abbildung als Schaltbild zu sehen. 

Parallelschwingkreis
Parallelschwingkreis

In dieser Abbildung sind alle auftretenden Spannungen und Ströme eingezeichnet. Es handelt sich um Ströme $ \underline{I}, \underline{I}_R, \underline{I}_L, \underline{I}_C $ und die Netzspannung $ \underline{U} $.

Unter Verwendung der Knotenregel erhalten wir für den Netzstrom entsprechend die Gleichung:

Netzspannung: $\underline{I} = \underline{I}_R + \underline{I}_L + \underline{I}_C $

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen Im weiteren Vorgehen orientieren wir uns an der bisherigen Vorgehensweise für Parallelschaltungen.

1. Erstelle das Zeigerbild eines Parallelschwingkreises

Das zugehörige Zeigerbild wird nach der gleichen Vorgehensweise erstellt wie für Reihenschwingkreise. Da die Spannung in allen Schaltelementen identisch ist, zeichnen wir wie gehabt zuerst den gemeinsamen Spannungszeiger ein. 

1. Der Stromzeiger des Widerstandes $\underline{I}_R $ liegt in der gleichen Phase wie der Spannungszeiger und wird entsprechend eingezeichnet

2. Der Stromzeiger der Induktivität $\underline{I}_L $ wird im 90° Winkel zum Stromzeiger $\underline{I}_R $ mit dem Ende an dessen Spitze eingezeichnet. Die Richtung des Pfeils verläuft nach unten.

3. Der Stromzeiger des Kondensators $\underline{I}_C $ hingegen verläuft gegenläufig zum Stromzeiger $\underline{I}_L $ und wird entsprechend eingezeichnet.

4. Nach dem alle Stromzeiger eingezeichnet sind, fehlt nur noch der Stromzeiger des Netzstroms. Dieser verläuft vom Ende des Stromzeigers $\underline{I}_R $ hin zur Spitze des Stromzeigers $\underline{I}_C $

Zeigerbild eines Parallelschwingkreise
Zeigerbild eines Parallelschwingkreise

Im letzten Schritt ergänzen wir die Abbildung wie gehabt um den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ und sehen, dass dieser positiv ist. 

Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild
Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Nun liegen wieder alle notwendigen Angaben zur Bestimmung des Netzstroms $ I $ und des Phasenverschiebungswinkels $\varphi $ vor.

2. Berechne den Netzstrom und den Phasenverschiebungswinkel

Beide Größen können aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck ermittelt werden. In den nachfolgenden Gleichungen sind die Beträge der Zeiger, also ihre Effektivwerte, enthalten:

1. $ I_R = \frac{U}{R}  $ und 

2. $ I_L = \frac{U}{ \omega \cdot L} $

3. $ I_C = U \cdot \omega \cdot C $

Damit der Satz des Pythagoras angewendet werden kann, gilt es die Strecke außerhalb des rechtwinkligen Dreiecks, hier die Strecke des Stromzeigers $\underline{I}_C $, aus der Berechnung zu subtrahieren.

Aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck erhält man unter Anwendung des Satzes von Pythagoras 

$ I = \sqrt{I_R^2 + ( I_L - I_C)^2} $

Setzt man die obigen drei Gleichungen nun in den Pythagorassatz ein, so erhält man:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Netzstrom: $ I =  \sqrt{(\frac{U}{R})^2 + (\frac{U}{ \omega \cdot L} -U \cdot \omega \cdot C )^2} $

Der Phasenverschiebungswinkel errechnet sich aus dem Zeigerbild

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Phasenverschiebungswinkel: $ tan \varphi = \frac{I_L - I_C}{I_R} = \frac{\frac{1}{\omega \cdot L} - \omega \cdot C}{\frac{1}{R}} $

Auch hier verläuft die Berechnung nach dem gängigen Schema. Fehlt nun noch die Resonanz für den Parallelschwingkreis

3. Berechne die Resonanz

Die Gleichungen für den Netzstrom und den Phasenverschiebungswinkel zeigen, dass bei einer gegebenen Netzspannung U und einem gegebenen Widerstand $ R $ der Netzstrom $ I $ bei dieser Resonanz [Parallelresonanz] den Minimalwert

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Thomsonsche Formel: Minimalwert $ I_{min} = \frac{U}{R} $ 

annimmt, wenn 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $ \frac{1}{\omega \cdot L}- \omega \cdot C  = 0 $ 

wird. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen Es muss sowohl für den Parallelschwingkreis, als auch den vorherigen Reihenschwingkreis die Bedingung: 

$\omega^2 \cdot L \cdot C = 1 $

erfüllt sein.

Sowohl die Thomsonsche Formel für die Reihenresonanz als auch die Thomsonsche Formel für die Parallelresonanz sagen das Gleiche aus.
In beiden Schaltungen wird bei Resonanz der Netzstrom, abgesehen von der Netzspannung, ausschließlich durch den Widerstand $ R $ bestimmt. 

4. Stelle die Resonanz im Zeigerbild dar

Wie beim vorherigen Kurstext stellen wir die Resonanz in einem Zeigerbild dar. Für den Parallelschwingkreis ist diese nachfolgend dargestellt.

Darstellung der Parallelresonanz
Darstellung der Parallelresonanz

Im Zeigerbild sehen Sie, dass sich die Teilströme $ \underline{I}_L $ und $\underline{I}_C $ gegenseitig aufheben.

Daraus folgt dann:

Merke

Hier klicken zum Ausklappen $\underline{I}_L = - \underline{I}_C \rightarrow \underline{I} = \underline{I}_R $ sowie  

$ I_L = I_C \rightarrow I = I_R $