Parallelschwingkreise

Im vorangegangenen Kurstext hast du einen Reihenschwingkreis kennengelernt. Eine weitere Art von Schwingkreis stellt der Parallelschwingkreis dar. Dieser ist in der nachfolgenden Abbildung als Schaltbild zu sehen. 

Parallelschwingkreis mit Widerstand, Induktivität und Kondensator

In dieser Abbildung sind alle auftretenden Spannungen und Ströme eingezeichnet. Es handelt sich um Ströme $ \underline{I}, \underline{I}_R, \underline{I}_L, \underline{I}_C $ und die Netzspannung $ \underline{U} $.

Unter Verwendung der Knotenregel erhalten wir für den Netzstrom entsprechend die Gleichung:

1. Erstelle das Zeigerbild eines Parallelschwingkreises

Das zugehörige Zeigerbild wird nach der gleichen Vorgehensweise erstellt wie für Reihenschwingkreise. Da die Spannung in allen Schaltelementen identisch ist, zeichnen wir wie gehabt zuerst den gemeinsamen Spannungszeiger ein. 

1. Der Stromzeiger des Widerstandes $\underline{I}_R $ liegt in der gleichen Phase wie der Spannungszeiger und wird entsprechend eingezeichnet. 

2. Der Stromzeiger der Induktivität $\underline{I}_L $ wird im 90° Winkel zum Stromzeiger $\underline{I}_R $ mit dem Ende an dessen Spitze eingezeichnet. Die Richtung des Pfeils verläuft nach unten.

3. Der Stromzeiger des Kondensators $\underline{I}_C $ hingegen verläuft gegenläufig zum Stromzeiger $\underline{I}_L $ und wird entsprechend eingezeichnet.

4. Nach dem alle Stromzeiger eingezeichnet sind, fehlt nur noch der Stromzeiger des Netzstroms. Dieser verläuft vom Ende des Stromzeigers $\underline{I}_R $ hin zur Spitze des Stromzeigers $\underline{I}_C $

Entstehung eines Zeigerbildes für einen Parallelschwingkreis

Im letzten Schritt ergänzen wir die Abbildung wie gehabt um den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ und sehen, dass dieser positiv ist. 

Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild

2. Berechne den Netzstrom und den Phasenverschiebungswinkel

Beide Größen können aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck ermittelt werden. In den nachfolgenden Gleichungen sind die Beträge der Zeiger, also ihre Effektivwerte, enthalten:

1. $ I_R = \frac{U}{R}  $ und 

2. $ I_L = \frac{U}{ \omega \cdot L} $

3. $ I_C = U \cdot \omega \cdot C $

Damit der Satz des Pythagoras angewendet werden kann, gilt es die Strecke außerhalb des rechtwinkligen Dreiecks, hier die Strecke des Stromzeigers $\underline{I}_C $, aus der Berechnung zu subtrahieren.

Aus dem rechtwinkligen Spannungsdreieck erhält man unter Anwendung des Satzes von Pythagoras 

$ I = \sqrt{I_R^2 + ( I_L - I_C)^2} $

Setzt man die obigen drei Gleichungen nun in den Pythagorassatz ein, so erhält man:

Der Phasenverschiebungswinkel errechnet sich aus dem Zeigerbild

Auch hier verläuft die Berechnung nach dem gängigen Schema. Fehlt nun noch die Resonanz für den Parallelschwingkreis

3. Berechne die Resonanz

Die Gleichungen für den Netzstrom und den Phasenverschiebungswinkel zeigen, dass bei einer gegebenen Netzspannung U und einem gegebenen Widerstand $ R $ der Netzstrom $ I $ bei dieser Resonanz [Parallelresonanz] den Minimalwert

annimmt, wenn 

wird. 

Sowohl die Thomsonsche Formel für die Reihenresonanz als auch die Thomsonsche Formel für die Parallelresonanz sagen das Gleiche aus.
In beiden Schaltungen wird bei Resonanz der Netzstrom, abgesehen von der Netzspannung, ausschließlich durch den Widerstand $ R $ bestimmt. 

4. Stelle die Resonanz im Zeigerbild dar

Wie beim vorherigen Kurstext stellen wir die Resonanz in einem Zeigerbild dar. Für den Parallelschwingkreis ist diese nachfolgend dargestellt.

Parallelresonanz im Zeigerbild

Im Zeigerbild siehst du, dass sich die Teilströme $ \underline{I}_L $ und $\underline{I}_C $ gegenseitig aufheben.

Daraus folgt dann: