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Elektrotechnik

Beispiel: Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität

Übungsbeispiel 3

Im dritten Anwendungsbeispiel betrachten wir wieder einen Widerstand und eine Induktivität. Beide befinden sich nicht mehr in einer Reihen-, sondern in einer Parallelschaltung. 

Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität

Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität

 

Beispiel

In der obigen Abbildung siehst du erneut einen Widerstand $ R $ und eine Induktivität $ L $. Beide sind diesmal innerhalb eines Wechselstromkreises parallel geschaltet. Anders als bisher ist nun nicht mehr der Strom identisch für $ R $ und $ L $, sondern die gemeinsame Spannung $\underline{U} $. Die vorliegenden Ströme sind $\underline{I}, \underline{I}_R, \underline{I}_L $.
Wir möchten nun wissen, welchen Betrag der Netzstrom $ I $ aufweist, welches Maß der Phasenverschiebungswinkel aufweist und wie groß die aufgenommene Leistung ist.

Zusammengefasst: Gesucht sind $ I, \varphi, P $.

1. Entwerfe Schaltplan mit Zeigerbild

Im ersten Schritt wird der oben abgebildete Schaltplan vervollständigt, indem alle in der Schaltung auftretenden Spannungen und Ströme inklusive ihrer Zählpfeile eingetragen werden.

Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität mit Zählpfeilen
Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität mit Zählpfeilen

 

Nach der Knotenregel ist $\underline{I} = \underline{I}_R + \underline{I}_L $.

Wie im vorangegangenen Beispiel erzeugen wir nun wieder ein Zeigerbild nach der bekannten Vorgehensweise.

Jetzt wird der Spannungszeiger $\underline{U} $ von links nach rechts eingezeichnet.  Dabei liegt $ \underline{I}_R $ auch in Phase mit $\underline{U} $. Nun setzt man den Stromzeiger $\underline{I}_L$ an die Zeigerspitze von $ \underline{I}_R $.
Erneut erhält man durch diese Vorgehensweise den Stromzeiger $\underline{I} $ des Netzstroms. Betrachtet man die vollständige Abbildung [4.], so sieht man, dass die Netzspannung $ \underline{U} $ dem Netzstrom voreilt.

Entstehung eines Zeigerbildes in vier Schritten
Entstehung eines Zeigerbildes in vier Schritten

Im letzten Schritt ergänzen wir die Abbildung wieder um den Phasenverschiebungswinkel $\varphi $ und sehen, dass dieser positiv ist. 

Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild
Phasenverschiebungswinkel im Zeigerbild

 

Nun liegen wieder alle notwendigen Angaben zur Bestimmung des Netzstroms $ I $ und des Phasenverschiebungswinkels $\varphi $ vor.

2. Berechne den Netzstrom und den Phasenverschiebungswinkel

Beide Größen können aus dem rechtwinkligen Stromdreieck ermittelt werden. In den nachfolgenden Gleichungen sind die Beträge der Zeiger, also ihre Effektivwerte, enthalten:

1. $ I_R = \frac{U}{R}  $ und 

2. $ I_L = \frac{U }{X_L} $.

Aus dem rechtwinkligen Stromdreieck erhält man unter Anwendung des Satzes von Pythagoras 

$ I = \sqrt{I_R^2 + I_L^2} $.

Setzt man die obigen beiden Gleichungen nun in den Pythagorassatz ein, so erhält man:

Methode

Netzstrom $ I = U \sqrt{\frac{1}{R^2} + (\frac{1}{X_L})^2} \rightarrow I = \frac{U}{Z} $

Unter Verwendung der Gleichung $ Z = \frac{U}{I}$ erhält man als Scheinwiderstand [$ U $ kürzt sich dabei weg]

Methode

Scheinwiderstand $ \frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{(\omega \cdot L)}^2}$

Der Phasenverschiebungswinkel errechnet sich aus dem Zeigerbild

Methode

Phasenverschiebungswinkel $ tan \varphi = \frac{I_L}{I_R} = \frac{R}{\omega \cdot L} $ 

Mit den bisher aufgestellten Beziehungen sind $ I $ und $\omega $ bekannt. Auch die Ströme $ I_R $ und $ I_L $ lassen sich auf diesem Weg bestimmen. 

3. Berechne die Leistung und die Arbeit

Um die Leistungen, die von der Schaltung aufgenommen werden, bestimmen zu können, verwendet man erneut die bisherigen Formeln:

$ P = U \cdot I cos\varphi $,

$ Q =  U \cdot I sin\varphi $ sowie

$ S = U \cdot I $.

Zur Bestimmung der Arbeit greift man auf folgende Formeln zurück:

$ W = P \cdot t $ 

$ W_q =  Q \cdot t \rightarrow $ Blindarbeit.