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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Parameterdarstellung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Parameterdarstellung

Es ist häufig nicht möglich beliebige Kurven $K$ in einem kartesischen Koordinatensystem als Funktionsgraphen darzustellen. Bei einer Funktion existiert zu jedem $x$-Wert nur ein $y$-Wert, weshalb beispielsweise die Darstellung eines Vollkreises nicht möglich ist (ein $x$-Wert dem zwei $y$-Werte zugeordnet werden). Auch bei einer Kurve kann es vorkommen, dass z.B. durch eine Schlaufe einem $x$-Wert zwei $y$-Werte zugewiesen sind (wie beim Kreis).

Parameterdarstellung

Abhilfe schafft hier die Einführung eines Parameters $t$ (Hilfsparameter), mit dem es möglich ist die Punkte $P(x, y)$ einer Kurve einzeln zu berechnen. Der Parameter $t$ wird häufig durch ein Intervall $[a, b]$ vorgegeben. 

Für einen festen $t$-Wert werden dann die Koordinaten $x$ und $y$ berechnet:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\begin{equation} K := \begin{cases}x = x(t) \\  \; \; \; &  t \in [a, b] \\ y = y(t) \end{cases} \end{equation}$

mit     Parameterdarstellung   $x = x(t), \ y = y(t) \ (a \le t \le b)$           

mit     Parameter   $t$                                                      

mit     Parameterintervall   $[a, b]$                                               

Ebene Kurve
Ebene Kurve


In der Grafik ist deutlich zu erkennen, dass der Punkt $P_a(x(a), y(a))$ den Startpunkt und der Punkt $P_b(x(b), y(b))$ den Endpunkt darstellt. Die Durchlaufrichtung ist also festgelegt.

Wird $t$ als Zeit gedeutet, so beschreibt die Parameterdarstellung die Bewegung eines Massenpunktes auf der Kurve.

Wertetabelle

Ist eine Kurve in Parameterform gegeben, dann kann man diese mithilfe einer Wertetabelle in einem Koordinatensystem veranschaulichen.

$t$$t_0 = a$$t_1$...$t_n = b$
$x(t)$$x(a)$$x(t_1)$...$x(b)$
$y(t)$$y(a)$$y(t_1)$...$y(b)$

Beispiel: Wertetabelle

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenGegeben sei die Kurve in Parameterdarstellung: $x(t) = t, \ y(t) = t^2, \ t \in [-1, 2]$ 

Die Wertetabelle sieht wie folgt aus (in $0,5$-Schritten):

$t$$t_0 = -1$$t_1=-0,5$$t_2 = 0$$t_3 = 0,5$$t_4 = 1$$t_5 = 1,5$$t_6 = 2$
$x(t)$$-1$$-0,5$$0$$0,5$$1$$1,5$$2$
$y(t)$$1$$0,25$$0$$0,25$$1$$2,25$$4$

Die Grafik dazu sieht wie folgt aus:

Parameterdarstellung
Parameterdarstellung

Vektordarstellung

Um im Weiteren die Kurveneigenschaften zu bestimmen, ist es sinnvoll die Kurve in Vektordarstellung anzugeben:

$\vec{r} = (x(t), y(t)) \; \; t \in [a, b]$

Der Punkt $P(x(t), y(t))$ der Kurve $K$ liegt dann in der Spitze des Vektors $\vec{x}$, welcher vom Nullpunkt ausgeht.

Vektordarstellung
Vektordarstellung


In der obigen Grafik wird der Punkt $t_5(1,5, 2,25)$ durch den Vektor $\vec{x} = (x(t), y(t)) = (x(1,5), y(1,5)) = (1,5, \ 2,25)$ dargestellt. Der Vektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und zeigt auf den Punkt $t_5$.