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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Bogenlänge berechnen

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bogenlänge berechnen

Die Länge $L$ einer Kurve $K$ innerhalb eines Intervalls $I \in [a, b]$ lässt sich durch ein KurvenIntegral errechnen. 

Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b  ds $ 

Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist. Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen. 

DarstellungsartKurvenlänge $ L$Bogenelement $ ds$

kartesisch:

$\ y = f(x) $

$\ a \le  x \le b $

$\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx $

$\sqrt{dx^2 + dy^2} $

$ = \sqrt{1 + f'^2} dx$

Parameter:

$\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t)\end{array}\right) $

$\ t_0 \le t \le t_1 $

$\int\limits_{t_1}^{t_2} |\dot{\vec{x}}| dt =  \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2} dt $

$\ |\dot{\vec{x}}| dt $

$ =\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} dt$

Polarkoordinaten:

$\ r = r(\varphi)$

$\varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1$

$\int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1} \sqrt{r(\varphi)^2 + \dot{r}(\varphi)^2} d\varphi $

$\sqrt{r^2d\varphi^2 + dr^2}$

$ = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} d\varphi $

Kartesische Darstellung

Wie bereits erwähnt, ist die Berechnung der Bogenlänge abhängig von der Form der Darstellung. Beispielsweise ist die Darstellungsform $f(x) = \frac{1}{2}x^2 $ mit $0 \le x \le 2$ eine kartesische Darstellung und die Berechnung erfolgt folgendermaßen (siehe Tabelle):

$L = \int\limits_0^2 \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx = \int\limits_0^2 \sqrt{1 + x^2} dx $

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Die exakte Berechnung von Kurvenintegralen ist aufgrund der auftretenden Wurzel häufig sehr mühsam oder elementar nicht möglich. Im Internet existieren einige Online-Integralrechner, welche zum Teil auch den Rechenweg aufzeichnen. 

Für das obige Integral erhalten wir am Ende:

$L =  [\frac{\text{sinh}^{-1}(x)}{2} + \frac{x \sqrt{x^2 + 1}}{2}]_0^2$

$L = \frac{\text{sinh}^{-1}(2)}{2} + \frac{2 \sqrt{2^2 + 1}}{2} - \frac{\text{sinh}^{-1}(0)}{2} + \frac{0 \sqrt{0^2 + 1}}{2} = 3,8841$

Bogenlänge
Bogenlänge

Das Kurvenstück im Intervall $[0,2]$ hat die Länge $3,8841$.

Parameterdarstellung

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $\vec{x} = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{pmatrix}$ mit $0 \le t \le 2\pi$ in Parameterdarstellung. Zur Berechnung der Bogenlänge muss nachfolgendes Integral gelöst werden:

Berechnung der Bogenlänge in Parameterdarstellung:

$\int\limits_0^{2\pi} |\dot{\vec{x}}|$

$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2} dt = \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(-\sin (t))^2 + \cos^2(t)} dt $

$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\sin^2 (t) + \cos^2(t)} dt $

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Anmerkung: $\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$

Das Ergebnis ist:

$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\sin^2 (t) + \cos^2(t)} dt  = \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{1} dt =  \int\limits_{0}^{2\pi} 1 dt = [t]_0^{2\pi}$

$= 2\pi - 0 = 2\pi$

Polarkoordinatendarstellung

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion $ r = \cos (\varphi)$ mit $0 \le \varphi \le 2\pi$ in Polarkoordinatendarstellung.

Zur Berechnung der Bogenlänge muss das folgende Integral gelöst werden:

$\int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1} \sqrt{r(\varphi)^2 + \dot{r}(\varphi)^2} d\varphi $

$\int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(\cos (\varphi))^2 + (-\sin(\varphi))^2} d\varphi $

$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(\cos (\varphi))^2 + (\sin(\varphi))^2} d\varphi$

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Anmerkung: $\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$

$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{1} \ d\varphi =  \int\limits_{0}^{2\pi} 1 \ d\varphi = [\varphi]_0^{2\pi}$

$= 2\pi - 0 = 2\pi$

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Für einen sicheren Umgang zur Auflösung von Integralen mit Wurzel ist die Kenntnis von Substitutionsregeln und Integrationsregeln erforderlich sowie häufiges Wiederholen von Übungsaufgaben.