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Die Länge $L$ einer Kurve $K$ innerhalb eines Intervalls $I \in [a, b]$ lässt sich durch ein Kurvenintegral errechnen.
Die formale Schreibweise ist: $\ L = \int\limits_a^b ds $
Hierbei steht das $ds $ für das Bogenelement, welches immer von der Darstellung der Kurve abhängig ist. Die Darstellung kann entweder kartesisch, durch Parameter oder durch Polarkoordinaten erfolgen. Im Folgenden eine Übersicht der Darstellungsarten sowie die jeweils zugehörigen Längen- und Bogenelementbeschreibungen.
| Darstellungsart | Kurvenlänge $ L$ | Bogenelement $ ds$ |
| kartesisch: $\ y = f(x) $ $\ a \le x \le b $ | $\int\limits_a^b \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx $ | $\sqrt{dx^2 + dy^2} $ $ = \sqrt{1 + f'^2} dx$ |
| Parameter: $\vec{x}= \left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t)\end{array}\right) $ $\ t_0 \le t \le t_1 $ | $\int\limits_{t_1}^{t_2} |\dot{\vec{x}}| dt = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2} dt $ | $\ |\dot{\vec{x}}| dt $ $ =\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} dt$ |
| Polarkoordinaten: $\ r = r(\varphi)$ $\varphi_0 \le \varphi \le \varphi_1$ | $\int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1} \sqrt{r(\varphi)^2 + \dot{r}(\varphi)^2} d\varphi $ | $\sqrt{r^2d\varphi^2 + dr^2}$ $ = \sqrt{r^2 + \dot{r}^2} d\varphi $ |
Kartesische Darstellung
Wie bereits erwähnt, ist die Berechnung der Bogenlänge abhängig von der Form der Darstellung. Beispielsweise ist die Darstellungsform $f(x) = \frac{1}{2}x^2 $ mit $0 \le x \le 2$ eine kartesische Darstellung und die Berechnung erfolgt folgendermaßen (siehe Tabelle):
$L = \int\limits_0^2 \sqrt{1 + (f' (x))^2} dx = \int\limits_0^2 \sqrt{1 + x^2} dx $
Merke
Die exakte Berechnung von Kurvenintegralen ist aufgrund der auftretenden Wurzel häufig sehr mühsam oder elementar nicht möglich. Im Internet existieren einige Online-Integralrechner, welche zum Teil auch den Rechenweg aufzeichnen.
Für das obige Integral erhalten wir am Ende:
$L = \frac{1}{2}[x \sqrt{x^2 + 1} + \text{sinh}^{-1}(x)]_0^2$
$L = \sqrt{5} + \frac{1}{2} \text{sinh}^{-1}(2) = 2,9579$
Das Kurvenstück im Intervall $[0,2]$ hat die Länge $2,9579$.
Parameterdarstellung
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $\vec{x} = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{pmatrix}$ mit $0 \le t \le 2\pi$ in Parameterdarstellung. Zur Berechnung der Bogenlänge muss nachfolgendes Integral gelöst werden:
Berechnung der Bogenlänge in Parameterdarstellung:
$\int\limits_0^{2\pi} |\dot{\vec{x}}|$
$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2} dt = \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(-\sin (t))^2 + \cos^2(t)} dt $
$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\sin^2 (t) + \cos^2(t)} dt $
Merke
Anmerkung: $\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$
Das Ergebnis ist:
$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\sin^2 (t) + \cos^2(t)} dt = \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{1} dt = \int\limits_{0}^{2\pi} 1 dt = [t]_0^{2\pi}$
$= 2\pi - 0 = 2\pi$
Polarkoordinatendarstellung
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $ r = \cos (\varphi)$ mit $0 \le \varphi \le 2\pi$ in Polarkoordinatendarstellung.
Zur Berechnung der Bogenlänge muss das folgende Integral gelöst werden:
$\int\limits_{\varphi_0}^{\varphi_1} \sqrt{r(\varphi)^2 + \dot{r}(\varphi)^2} d\varphi $
$\int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(\cos (\varphi))^2 + (-\sin(\varphi))^2} d\varphi $
$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(\cos (\varphi))^2 + (\sin(\varphi))^2} d\varphi$
Merke
Anmerkung: $\cos(x)^2 + \sin(x)^2 = 1$
$= \int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{1} \ d\varphi = \int\limits_{0}^{2\pi} 1 \ d\varphi = [\varphi]_0^{2\pi}$
$= 2\pi - 0 = 2\pi$
Merke
Für einen sicheren Umgang zur Auflösung von Integralen mit Wurzel ist die Kenntnis von Substitutionsregeln und Integrationsregeln erforderlich sowie häufiges Wiederholen von Übungsaufgaben.
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