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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Tangentenvektor

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tangentenvektor

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In diesem Abschnitt wird zunächst gezeigt, wie generell ein Tangentenvektor bestimmt wird. Es folgt dann eine Tabelle für die unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren (explizite, implizite, Parameter, Polarkoordinaten) und anschließend wird die ganze Problematik anhand von ausführlichen Beispielen veranschaulicht.

Einführung

Zu jeder Parameterdarstellung $\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$ einer Kurve $ K $ in der Ebene definiert man den Tangentenvektor [oder Tangentialvektor]:

$\vec{t}(t) := \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} (\vec{r}(t + h) - \vec{r}(t)) = (\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$

wobei der Punkt $\dot{}$ über dem Vektor für die 1. Ableitung nach $t$ steht. Es gilt:

$\dot{\vec{x}}(t) = \frac{d}{dt}x(t)$, 

$\dot{\vec{y}}(t) = \frac{d}{dt}y(t)$.

Das bedeutet, dass man den Vektor $\vec{r}(t)$ differenziert, indem man die Komponenten $\vec{x}(t)$ und $\vec{y}(t)$ ableitet und dadurch den Vektor $\vec{t}(t)$ erhält.

Merke

Die Ableitung $(\dot{x}(t), \ \dot{y}(t))$ beschreibt einen Tangentenvektor an der Kurve. In jedem Punkt der ebenen Kurven wird durch den Tangentenvektor die Richtung der Tangente an der Kurve in diesem Punkt bestimmt.

Beispiel

Hierzu ein Beispiel aus der Physik:

Wenn $\vec{r}(t)$ für die Bewegung eines Massenpunktes $P(x(t), y(t))$ auf einer Kurve steht, so beschreibt $\vec{t}(t)$ dessen Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$. 

Beispiel: Tangentenvektor

Beispiel

Gegeben sei der Vektor $\vec{r}(t) = (r \cos t, \ r \sin t), \ t \in [0,2\pi]$ im Einheitskreis und der Punkt $(0,8|0,6)$. Wie sieht der dazugehörige Tangentenvektor aus?

1. Ableitung bilden

Die Ableitung des Vektors $\vec{r}(t) = (r \cos t, \ r \sin t)$ ergibt:

$\vec{t}(t) = \left(\begin{array}{c} - r\sin t, \\  r \cos t \end {array}\right)$

Der Parameter $t$ liegt im Intervall $[0, 2\pi] \ \leftrightarrow \ [0, 360°]$. Der Radius $r$ des Vektors ist im Einheitskreis gleich $1$. Weshalb auch gilt:

$\vec{t}(t) = \left(\begin{array}{c} -\sin t, \\  \cos t \end {array}\right)$

2. Winkel bestimmen

Im Punkt $P(0,8| 0,6)$ ist der Winkel $t$:

$(r \cos t, \ r \sin t):$

$t = 1 \cdot \cos^{-1} (0,8)$

bzw.

$t = 1 \cdot \sin^{-1} (0,6)$:

$t \approx 36,8$

3. Tangentenvektor berechnen

Der Tangentenvektor im Punkt $P(0,8 | 0,6)$ ist demnach:

$\vec{t} = (- \sin (t), \ \cos (t)) \ \rightarrow \ \vec{t} = (- \sin (36,8), \ \cos (36,8))$

$\vec{t} = (-0,6, \ 0,8)$ Tangentenvektor

Tangentenvektor
Tangentenvektor


Der Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und zeigt mit der Spitze auf den Punkt $T(-0,6, \ 0,8)$. Durch Parallelverschiebung an den Punkt $P(0,8, \ 0,6)$ erhält man die Richtung der Tangente in diesem Punkt der Kurve.

Überblick der unterschiedlichen Darstellungsarten von Tangentenvektoren

Darstellungsarten
Kurve
Punkt auf der Kurve Tangentenvektor für Kurvenpunkt
Explizite
$\ y = f(x)$
$\ P_0 = (x_0, y_0)$ $\vec{t} = (1, f'(x_0))$
Implizite
$\ F(x,y) = 0$
$\ P_0 = (x_0, y_0)$ $\vec{t} = (F_y(x_0, y_0), -F_x(x_0, y_0)) $
Polarkoordinaten
$\ r=r(\varphi)$
$\ r_0 = r(\varphi_0)$ $\vec{t} = \left(\begin{array}{c} \dot{r}(\varphi_0)cos\varphi_0 - r(\varphi_0)sin\varphi_0 \\ \dot{r}(\varphi_0)sin\varphi_0 - r(\varphi_0)cos\varphi_0 \end {array}\right)$
Parameter
$\vec{x} = \vec{x}(t)$
$\vec{x_0}= \vec{x}(t_0)$ $\vec{t} = \dot{\vec{x}}(t_0) = (\dot{x}(t_0), \dot{y}(t_0))$

Implizite Darstellung

Beispiel

Gegeben sei die Ellipse $8x^2 + 4y^2 = 24$ und der Punkt $(1, \ 2)$. Wie sieht der dazugehörige Tangentenvektor aus?

Es handelt sich hierbei um eine implizite Darstellung. Es wird einmal nach $x$ und einmal nach $y$ abgeleitet:

$F(x) = 16x, \ F(y) = 8y$

Der Tangentenvektor berechnet sich wie folgt (siehe Tabelle):

$\vec{t} = (F_y(x_0, y_0), -F_x(x_0, y_0))  = (16, \ -16)$

Dies kann verkürzt geschrieben werden als:

$16(1, \ -1) \rightarrow \ s(1, \ -1)$,

wobei $s$ der Geradenparameter ist. Das heisst, dass $s$ die Länge des Tangentenvektors zeigt.

Beispiel: Tangentenvektor
Beispiel: Tangentenvektor

Der Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und zeigt auf den Punkt $(16, \ -16)$. Durch Parallelverschiebung an den Punkt $(1, \ 2)$ erhält man die Richtung der Tangente in diesem Punkt der Kurve. In der Grafik ist deutlich erkennbar, dass der Tangentenvektor $\vec{t} = (16, \ -16)$ auch verkürzt dargestellt werden kann. Dies ändert nichts an seiner Richtung, sondern nur an der Länge der Tangente, weshalb man den Tangentenvektor auch mit dem Geradenparameter $s$ verkürzt darstellen kann. Von der Wahl des Parameters $s$ hängt dann die Länge der Tangente ab. Die bereits verschobene Tangente im Punkt $(1, \ 2)$ kann wie folgt geschrieben werden:

$\vec{x} = (1, \ 2) + s(1, \ -1)$

In der obigen Grafik ist der Geradenparamater $s = 4$ gewählt worden.

Video: Tangentenvektor

Explizite Darstellung

Beispiel

Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$ und der Punkt $(2,4)$. Wie sieht der dazugehörige Tangentenvektor aus?

Die 1. Ableitung ist:

$f´(x) = 2x$ 

Es liegt eine explizite Darstellung vor, deshalb errechnet sich der Tangentenvektor mittels:

$\vec{t} = (1, f'(x_0) = (1, \ 2x)$

Im Punkt $(2, \ 4)$:

$\vec{t} = (1, \ 4)$

Beispiel: Tangentenvektor
Beispiel: Tangentenvektor


Der Tangentenvektor hat seinen Ursprung im Nullpunkt und zeigt auf den Punkt $(1, \ 4)$. Durch Parallelverschiebung an den Punkt $(2, \ 4)$ erhält man die Richtung der Tangente in diesem Punkt der Kurve. Auch hier kann die Tangente wieder durch den Geradenparameter $s$ in der Länge variiert werden. Die Darstellung der Tangente im Punkt $(2, \ 4)$ ist dann:

$\vec{x} = (2, \ 4) + s(1, \ 4)$

Für $s$ wurde hier $1,2$ gewählt.

Video: Tangentenvektor