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Technische Mechanik 1: Statik - Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

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Technische Mechanik 1: Statik

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Innerhalb der Statik ist es sehr wichtig die Trigomometrie am rechtwinkligen Dreieck zu kennen. In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie die Winkel innerhalb des Dreiecks berechnet werden können sowie die Längen der Seiten. 

Wir betrachten dazu ein rechtwinkliges Dreieck:

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck

Das rechtwinklige Dreieck weist einen rechten Winkel (=90°-Winkel) auf. Die Seite gegenüber vom rechten Winkel wird als Hypotenuse bezeichnet. 

Führen wir die Winkel $\alpha$ und $\beta$ ein (Bezeichnungen der Winkel sind beliebig), so können wir die anderen beiden Seite des rechtwinkligen Dreiecks wie folgt definieren:

Gegenkathete Ankathete Hypotenuse
Seiten des rechtwinkligen Dreiecks

Betrachten wir zunächst den Winkel $\alpha$, so können wir die Seite die an dem Winkel liegt als Ankathete und die Seite gegenüber vom Winkel $\alpha$ als Gegenkathete definieren. 

Betrachten wir hingegen den Winkel $\beta$, so ist die Ankathete die Seite die am Winkel $\beta$ liegt und die Gegenkathete die gegenüberliegende Seite. 

Merke

Entscheidend für die Definition der Ankathete und Gegenkathete ist also, welcher Winkel betrachtet wird. Die Hypotenuse hingegen ist immer die Seite gegenüber vom rechten Winkel.

Winkel berechnen

Mittels der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tanges können nun die Winkel $\alpha$ bzw. $\beta$ berechnet werden, wenn die Längen von zwei Seiten gegeben sind. 

Winkelfunktionen
Winkelfunktionen


Wir beziehen uns auf den Winkel $\alpha$. Die Winkelfunktionen gelten natrürlich ebenfalls für den Winkel $\beta$, es muss eben nur darauf geachtet werden, dass Ankathete und Gegenkathe dann anders definiert sind. 

Methode

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) =  \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha) =  \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$


Die Winkelfunktionen können nach dem Winkel $\alpha$ aufgelöst werden indem die Umkehrfunktionen $arc\sin$, $arc\cos$ und $arc\tan$ angewandt werden:

Methode

$\alpha = arc\sin(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}})$

$\alpha = arc\cos( \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}})$

$\alpha =  arc\tan(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}})$

Länge der Seiten berechnen

Es ist ebenfalls möglich die Längen der Seiten zu berechnen. Ist die Länge einer Seite gegeben und ein Winkel, so können die obigen Gleichungen entsprechend der gesuchten Seite aufgelöst werden.

Ist beispielsweise die Länge der Hypotenuse gegeben und der Winkel $\alpha$ und es ist die Ankathete gesucht, so kann der Cosinus verwendet und nach der Ankathete aufgelöst werden:

$\cos(\alpha) =  \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Auflösen nach der Ankathete:

$\text{Ankathete} = \text{Hypotenuse} \cdot \cos(\alpha)$

Satz des Pythagoras

Sind die Längen von zwei Seiten gegeben, so kann die folgende Formel zur Berechnung herangezogen werden, die auch als Satz des Pythagoras bekannt ist:

Methode

$\text{Hypotenuse}^2 = \text{Ankathete}^2 + \text{Gegenkathete}^2$

Formal:

"In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Katheten-Quadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse."

Mithilfe dieses Satzes kann die Länge der Hypotenuse, Ankathete oder Gegenkathete berechnet werden, wenn die Längen von zwei Seiten gegeben sind. 

Merke

Die obigen Formel sind grundlegend für die Berechnungen in der Statik, Elastostatik und auch Dynamik.