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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Funktionen mehrerer Veränderlicher

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Funktionen mehrerer Veränderlicher

Inhaltsverzeichnis

Reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sich beinahe sämtliche Problemstellungen aus Wirtschaft und Wissenschaft nicht anhand von Funktionen mit nur einer Variablen lösen lassen. 

Eine reellwertige Funktion mit $n$ Veränderlichen ist eine Abbildung der Form

$\ f : P = (x_1,x_2,.....,x_n) \in D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow y = f (P) \in \mathbb{R}$.

Die $\ x_i ( i = 1,2,....n) $ sind unabhängige Veränderliche. Bei zwei oder drei Veränderlichen schreibt man für gewöhnlich $\ z= f(x,y) $ oder $\ w= f(x,y,z) $ 

Beispiel

Im Rechnungswesen wird der Gewinn eines Unternehmens als Funktion von Einnahmen und Ausgaben dargestellt. Hierbei erhält man meistens eine Funktionen mit mehreren Veränderlichen.

Grafische Darstellung

Bisher wurden Funktionen mit einer Variablen $x$ in einem Koordinatensystem dargestellt, indem die Variable $x$-Wert auf der Abszisse ($x$-Achse) und der dazugehörige $y$-Wert auf der Ordinate ($y$-Achse) abgetragen wurde. Bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen funktioniert dies nicht mehr so einfach, denn es existieren mindestens zwei Variablen. Bei Funktionen mit zwei Variablen kann man die dreidimensionale Ansicht wählen, um die Funktion darzustellen. 

Es sei die Funktion: $z = f(x, y) = x + y$ gegeben. Es gibt also zwei Variablen, nämlich $x$ und $y$. Wählen wir nun für $x = 3$ und $y = 3,5$ so erhalten wir für $z = 6,5$. Ein Punkt der Funktion ist also: $z = 6,5$.

Funktion mit mehreren Veränderlichen
Funktion mit mehreren Veränderlichen

Im Intervall $[0, 3]$ sieht die Funktion wie folgt aus:

Es ist also abhängig von $x$ und $y$ wie die Funktion verläuft.

Beispiel

Man möchte eine Lampe so aufhängen, dass der Lampenschirm an einem bestimmten Punkt im Raum hängt. Man hat sich in diesem Fall für die Mitte des Raumes entschieden, welcher 4X4X2,5-Meter groß ist. Die Lampe soll in einem Abstand von 1 Meter von der Decke hängen.

Man wählt nun zwei Raumseiten aus, welche sich an einem Punkt (Nullpunkt) treffen. Die eine Raumseite heißt $x$ und die andere $y$. Beide Seiten sind 4m lang. Die Mitte wäre also jeweils 2m. Das bedeutet $x, y = 2$. Man geht nun also die $x$-Wand 2m entlang, und die $y$-Wand 2m entlang und trifft sich dann in jenem Punkt, wo sich beide treffen.Man erhält so erst einmal den Punkt auf dem Fußboden, von dem aus man nun die Höhe bestimmen kann, in welcher die Lampe hängen soll. In diesem Fall $z = 1,5m$ (=2,5m - 1m) Von den Punkt auf den Fußboden geht man nun 1,5m in die Höhe und erhält den gesuchten Punkt. Eine Funktion um diesen Punkt zu ermitteln wäre:

$z = f(x,y) = 0,5x + 0,25y$