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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Kettenregel

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kettenregel

Merke

Exkurs Höhere Mathematik 1

Funktionen, deren Argumente erneut Funktionen sind, lassen sich differenzieren. Man differenziert dabei kettenartig, also zunächst nach dem Argument und multipliziert das Ergebnis mit der Ableitung des Arguments nach der gesuchten Variablen.

Die Kettenregel für  $ y = F_1 (F_2) $ mit $ F_2 = F_2 (x) $  lautet 

$\frac{d_y}{d_x} = \frac{d F_1 ( F_2)}{d F_2} \cdot {d F_2 (x)}{dx} $ . 

Bei Funktionen mehrerer Veränderlicher wird die Kettenregel ähnlich angewandt.

Es sei eine Funktion $ z = f (x,y)$ gegeben. Die Parameter $ x,y $ seien von zwei Parametern $\ t, o$ [beispielsweise dem Faktor $t$ = Zeit und dem Faktor $o$ = Ort] abhängig, also:

Die Funktion $ z = f (x,y)$ ist gegeben mit  $ x = x(t,o), y = y(t,o)$.

Die partiellen Ableitungen dieser "verketteten" Funktion $\ z = f(x(t,o),y(t,o))$ können mit Hilfe der allgemeinen Kettenregel gebildet werden.

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$ und 

$\frac{dz}{do} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{do} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{do}$.

In den partiellen Ableitungen $ \frac{\partial z}{\partial x}$ und $ \frac{\partial z}{\partial y}$ sind letztlich noch die Variablen $ x $ und $ y $ durch die jeweiligen Parametergleichungen $\ x(t,o)$ und $ y(t,o) $ zu ersetzen.  

Nach dem gleichen Rechenschema verfährt man auch bei Funktionen mit 3 oder n Veränderlichen.

Anwendungsbeispiele

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y)$ mit $x = \sin (t)$ und $y = \cos (t)$.

Dann ist die Ableitung:

$\frac{dz}{dt} =  \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

$\frac{\partial z}{\partial x}  = f(x)$

$\frac{dx}{dt} = \cos (t)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = f(y)$

$\frac{dy}{dt} = -\sin (t)$

Insgesamt ergibt sich:

$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dt} = f(x) \cdot \cos (t) - f(y) \cdot \sin (t)$

Beispiel

Gegeben sei die Funktion: $w = f(x, y, z) = x \cos (y - z)$  mit  $x(t,o) = 2t - o^2$, mit $y(t,o) = t^2 + o$ und mit $z(t,o) = to$

Ableitung nach t

$\frac{dw}{dt} =  \frac{\partial w}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{dz}{dt}$

$\frac{\partial w}{\partial x} \frac{dx}{dt} = 1 \cdot \cos (y - z) \cdot 2$

$\frac{\partial w}{\partial y} \frac{dy}{dt} = 1 \cdot x -\sin (y - z) \cdot 2t$

$\rightarrow$  Die $1$ am Anfang ist durch die innere Ableitung von $cos(y-z)$ nach $y$.

$\frac{\partial w}{\partial z} \frac{dz}{dt} = (-1) \cdot x -\sin (y - z) \cdot o$

$\rightarrow$  Die $-1$ am Anfang ist durch die innere Ableitung von $cos(y-z)$ nach $z$.

Insgesamt ergibt sich:

$\frac{dw}{dt} = \cos (y - z) \cdot 2 - x \sin (y - z) \cdot 2t +  x \sin (y - z) \cdot o$

Ableitung nach o

$\frac{dw}{do} =  \frac{\partial w}{\partial x} \frac{dx}{do} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{dy}{do} + \frac{\partial w}{\partial z} \frac{dz}{do}$

$\frac{\partial w}{\partial x} \frac{dx}{do} = 1 \cos (y - z) \cdot (-2o)$

$\frac{\partial w}{\partial y} \frac{dy}{do} = 1 \cdot x -\sin (y - z) \cdot 1$

$ \frac{\partial w}{\partial z} \frac{dz}{do} = (-1) \cdot x -\sin (y - z) \cdot t$

Insgesamt ergibt sich:

$\frac{dw}{do} = -\cos (y - z) \cdot 2o - x \sin (y - z) + x \sin (y - z) \cdot t$