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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum

Inhaltsverzeichnis

Eine Raumkurve ist eine stetige differenzierbare Abbildung $\ a: I \rightarrow \mathbb{R} $ eines Intervalls.

$ I = (a, b) \in \mathbb{R}$  im Raum $\mathbb{R}^3 $.

Zur Untersuchung von Raumkurven bietet von den bisher vorgestellten Darstellungsformen die Parameterdarstellung die größten Vorteile. Dabei wird ein Parameter $\ t \in I = (a,b) $ auf einen Punkt im Raum mit drei stetig differenzierbaren Funktionen $\ x\ ,y\ ,z $ abgebildet. 

$\alpha (t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$, wobei $\alpha $ für die Raumkurve steht.

Beispiel

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Eine Spirale im Raum hat beispielsweise die Parameterdarstellung:

$\alpha (t) = \begin{pmatrix} 2 \cos (t) \\ 4 \sin (t) \\ 0,5 t \end{pmatrix} \; ; 0 \le t \le 6\pi$

Grafische Darstellung

Grafisch sieht das wie folgt aus:

Spirale im Raum
Spirale im Raum