Das erste und einfachere Verfahren ist das Einsetzen. Hierbei ist es möglich die Nebenbedingung $\ G(x,y)= 0 $ derart in die Funktion $\ w = f(x,y) $ einzusetzen, dass eine der Variablen wegfällt und man anschließend nur noch die Funktion anhand einer Veränderlichen nach Extremwerten untersuchen muss.
Beispiel
Gegeben sei ein Rechteck $z = f(x,y) = xy$ mit der Nebenbedingung $g(x,y) = 2x + 2y - u = 0$ Wobei $u$ ein vorgegebener Umfang sein soll. Maximiere das Rechteck!
Die Nebenbedingung $g(x,y)$ wird als erstes nach einem Faktor aufgelöst. Zum Beispiel nach $y$:
$y = \frac{u}{2} - x$
Als nächstes wird die Nebenbedingung in die Funktion $z = f(x,y)$ eingesetzt:
$z = f(x,y) = f(x) = x (\frac{u}{2} - x) = \frac{u}{2}x - x^2$
Die Bedingung für eine Extremstelle ist $f´(x) = 0$:
$f´(x)= \frac{u}{2} - 2x = 0$
Auflösen nach $x$ ergibt:
$x = \frac{u}{4}$
Der dazugehörige $y$-Wert ergibt sich durch:
$y = \frac{u}{2} - x = y = \frac{u}{2} - \frac{u}{4} = \frac{u}{4}$
Um herauszufinden ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, muss die 2. Ableitung gebildet werden und der $x$-Wert eingesetzt werden:
$f´´(x) = -2 \; < 0$
Es handelt sich tatsächlich um ein Maximum. Die optimale Seitenlänge ist für $x$ und $y$ gleich $\frac{u}{4}$.
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