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Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen:

Verfahren durch Einsetzen

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Das erste und einfachere Verfahren ist das Einsetzen. Hierbei ist es möglich die Nebenbedingung $\ G(x,y)= 0 $ derart in die Funktion $\ w = f(x,y) $ einzusetzen, dass eine der Variablen wegfällt und man anschließend nur noch die Funktion anhand einer Veränderlichen nach Extremwerten untersuchen muss.

Beispiel

Gegeben sei ein Rechteck $z = f(x,y) = xy$ mit der Nebenbedingung $g(x,y) = 2x + 2y - u = 0$ Wobei $u$ ein vorgegebener Umfang sein soll. Maximiere das Rechteck!

Die Nebenbedingung $g(x,y)$ wird als erstes nach einem Faktor aufgelöst. Zum Beispiel nach $y$:

$y = \frac{u}{2}  - x$

Als nächstes wird die Nebenbedingung in die Funktion $z = f(x,y)$ eingesetzt:

$z = f(x,y) = f(x) = x (\frac{u}{2}  - x) = \frac{u}{2}x  - x^2$

Die Bedingung für eine Extremstelle ist $f´(x) = 0$:

$f´(x)= \frac{u}{2}  - 2x = 0$

Auflösen nach $x$ ergibt:

$x = \frac{u}{4}$

Der dazugehörige $y$-Wert ergibt sich durch:

$y = \frac{u}{2}  - x = y = \frac{u}{2}  - \frac{u}{4} = \frac{u}{4}$

Um herauszufinden ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, muss die 2. Ableitung gebildet werden und der $x$-Wert eingesetzt werden:

$f´´(x) = -2 \; < 0$  

Es handelt sich tatsächlich um ein Maximum. Die optimale Seitenlänge ist für $x$ und $y$ gleich $\frac{u}{4}$.

Multiple-Choice
Gegeben sei die Funktion $f(x,y) = 5x^2y$ mit der Nebenbedingung $3y - 6x -3 = 0$. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Verfahren durch Einsetzen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

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  • Kurs: Höhere Mathematik 2
    • Einleitung zu Kurs: Höhere Mathematik 2
  • Darstellungsarten ebener Kurven
    • Einleitung zu Darstellungsarten ebener Kurven
    • Implizite- und explizite Darstellung
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