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Funktionen mehrerer Veränderlicher > Extremwerte > Extremwerte mit Nebenbedingungen:

Verfahren von Lagrange

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 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Das Verfahren von Lagrange ist ein oft verwendetes Verfahren zur Lösung von Maximierungs- und Minimierungsproblemen in der Volkswirtschaftslehre sowie in der Höheren Mathematik. Hierbei sind diese durch ihre Nebenbedingung definiert. 

Die Lagransche Hilfsfunktion besteht aus der Zielfunktion und der Nebenbedingung:

$\ L(x,y, \lambda) := f(x,y) + \lambda G(x,y) $.

Ziel ist es die $ (x,y)$ zu finden, für die $\ L_x = L_y = L_{\lambda} = 0 $ sind. Aus diesen Punkten ermittelt man anschließend die Extrempunkte. 

Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel.

Beispiel

Gegeben sei eine Funktion $\ z = f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$. Bestimme unter der Nebenbedingung $ G(x,y) = (x - \frac{1}{2})^2 + y^2 - \frac{1}{16} = 0 $ die Extremwerte

Lagrange Hilfsfunktion

Die Lagrange Hilfsfunktion ist

$\ L(x,y, \lambda) = \sqrt{ 1-x^2 -y^2} + \lambda((x-\frac{1}{2})^2 + y^2 - \frac{1}{16}) $.

Partielle Ableitungen

Jetzt bildet man die partiellen Ableitungen nach $\ x,y$ und $\lambda $ und setzt diese gleich Null:

Vereinfachte Schreibweise:

$L(x,y, \lambda) = (1 - x^2 - y^2)^{\frac{1}{2}} + \lambda(x - \frac{1}{2})^2 + \lambda(y^2 - \frac{1}{16})$

Ableitung nach $x$:

$\ L_x = \frac{1}{2} (1 - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 = 0$

$\ L_x = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) = 0$

Ableitung nach $y$:

$\ L_y = \frac{1}{2} (1 - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2y) + 2\lambda y = 0$

$L_y = -\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} + 2\lambda y = 0$

$y$ ausklammern:

$y(-\frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}} + 2\lambda) = 0$

Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist:

$y = 0 \; \vee \; (-\frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}} + 2\lambda) = 0 \; \rightarrow \; 2\lambda = \frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}}$

Ableitung nach $\lambda$:

$\ L_{\lambda} = (x - \frac{1}{2})^2 + y^2 - \frac{1}{16} $

Einsetzen

Nun versucht man anhand der bisherigen Erkenntnisse $\ L_y = 0 $ mit $\ y = 0 $ und $\ 2\lambda =  \frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}}$ das Problem durch Einsetzen zu Lösen. Man nimmt dazu denjenigen Term, der nach dem Einsetzen nur noch eine Variable enthält, nach der man den Term dann umstellt.

Einsetzen in $L_x$:

Für sowohl $y = 0$ als auch $\ 2 \lambda =  \frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}} $ enthält $L_x$ weiterhin zwei Variablen.

Einsetzen in $L_\lambda$:

Für $\ y = 0 $ folgt durch einsetzen in

$\ L_{\lambda} = 0: x^2 - x + \frac{3}{16} = 0 $   (p/q-Formel anwenden)

$\rightarrow \; x= \frac {1}{4} \vee x = \frac{3}{4}$. 

Setzt man nun die ermittelten $x$-Werte sowie den dazugehörigen $y$-Wert ($y = 0$) in $\ L_x $ ein so lassen sich die $\lambda $ bestimmen für die $ L_x = 0 $ ist. Allerdings ist die Variable $\lambda$ nur eine Hilfsvariable, weshalb der Wert hier nicht von Bedeutung ist.

Die Extrempunkte sind also ermittelt. Und zwar in den Punkten $\ (\frac{1}{4},0) $ und $\ (\frac{3}{4},0) $.

Lösen

Hier ist nun der Satz nach Weierstraß zu beachten, dieser besagt, dass eine stetige Funktion auf einem beschränkten und abgeschlossenen Bereich sowohl ein Minimum als auch ein Maximum enthält. Hält man sich an diesen Satz und vergleicht die ermittelten Funktionswerte miteinander so ist für

$f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$

$\ f(\frac{1}{4},0)  >  f(\frac{3}{4},0) $.

Daraus ergibt sich letztlich, dass bei $\ f(\frac{1}{4},0)$ ein Maximum und bei $ f(\frac{3}{4},0) $ ein Minimum existiert. 

Merke

Das Verfahren von Lagrange lässt sich auch problemlos nach dem gleichen Schema auf Funktionen mit mehr als 2 Veränderlichen anwenden. Bei z.B. Funktionen mit 3 Veränderlichen unter einer Nebenbedingung erhält man am Ende eine Funktion mit 2 Veränderlichen, welche dann nach dem Schema im Kapitel "Extrempunkte ohne Nebenbedingung" gelöst werden kann.
Multiple-Choice
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Verfahren von Lagrange ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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