Verfahren von Lagrange

Das Verfahren von Lagrange ist ein oft verwendetes Verfahren zur Lösung von Maximierungs- und Minimierungsproblemen in der Volkswirtschaftslehre sowie in der Höheren Mathematik. Hierbei sind diese durch ihre Nebenbedingung definiert. 

Die Lagransche Hilfsfunktion besteht aus der Zielfunktion und der Nebenbedingung:

$\ L(x,y, \lambda) := f(x,y) + \lambda G(x,y) $.

Ziel ist es die $ (x,y)$ zu finden, für die $\ L_x = L_y = L_{\lambda} = 0 $ sind. Aus diesen Punkten ermittelt man anschließend die Extrempunkte. 

Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel.

Lagrange Hilfsfunktion

Die Lagrange Hilfsfunktion ist

$\ L(x,y, \lambda) = \sqrt{ 1-x^2 -y^2} + \lambda((x-\frac{1}{2})^2 + y^2 - \frac{1}{16}) $.

Partielle Ableitungen

Jetzt bildet man die partiellen Ableitungen nach $\ x,y$ und $\lambda $ und setzt diese gleich Null:

Vereinfachte Schreibweise:

$L(x,y, \lambda) = (1 - x^2 - y^2)^{\frac{1}{2}} + \lambda(x - \frac{1}{2})^2 + \lambda(y^2 - \frac{1}{16})$

Ableitung nach $x$:

$\ L_x = \frac{1}{2} (1 - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) \cdot 1 = 0$

$\ L_x = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} + 2\lambda(x - \frac{1}{2}) = 0$

Ableitung nach $y$:

$\ L_y = \frac{1}{2} (1 - x^2 - y^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2y) + 2\lambda y = 0$

$L_y = -\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} + 2\lambda y = 0$

$y$ ausklammern:

$y(-\frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}} + 2\lambda) = 0$

Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist:

$y = 0 \; \vee \; (-\frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}} + 2\lambda) = 0 \; \rightarrow \; 2\lambda = \frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}}$

Ableitung nach $\lambda$:

$\ L_{\lambda} = (x - \frac{1}{2})^2 + y^2 - \frac{1}{16} $

Einsetzen

Nun versucht man anhand der bisherigen Erkenntnisse $\ L_y = 0 $ mit $\ y = 0 $ und $\ 2\lambda =  \frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}}$ das Problem durch Einsetzen zu Lösen. Man nimmt dazu denjenigen Term, der nach dem Einsetzen nur noch eine Variable enthält, nach der man den Term dann umstellt.

Einsetzen in $L_x$:

Für sowohl $y = 0$ als auch $\ 2 \lambda =  \frac{1}{\sqrt{1 -x^2 -y^2}} $ enthält $L_x$ weiterhin zwei Variablen.

Einsetzen in $L_\lambda$:

Für $\ y = 0 $ folgt durch einsetzen in

$\ L_{\lambda} = 0: x^2 - x + \frac{3}{16} = 0 $   (p/q-Formel anwenden)

$\rightarrow \; x= \frac {1}{4} \vee x = \frac{3}{4}$. 

Setzt man nun die ermittelten $x$-Werte sowie den dazugehörigen $y$-Wert ($y = 0$) in $\ L_x $ ein so lassen sich die $\lambda $ bestimmen für die $ L_x = 0 $ ist. Allerdings ist die Variable $\lambda$ nur eine Hilfsvariable, weshalb der Wert hier nicht von Bedeutung ist.

Die Extrempunkte sind also ermittelt. Und zwar in den Punkten $\ (\frac{1}{4},0) $ und $\ (\frac{3}{4},0) $.

Lösen

Hier ist nun der Satz nach Weierstraß zu beachten, dieser besagt, dass eine stetige Funktion auf einem beschränkten und abgeschlossenen Bereich sowohl ein Minimum als auch ein Maximum enthält. Hält man sich an diesen Satz und vergleicht die ermittelten Funktionswerte miteinander so ist für

$f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$

$\ f(\frac{1}{4},0)  >  f(\frac{3}{4},0) $.

Daraus ergibt sich letztlich, dass bei $\ f(\frac{1}{4},0)$ ein Maximum und bei $ f(\frac{3}{4},0) $ ein Minimum existiert.