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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Partielle Ableitung erster Ordnung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Ableitung erster Ordnung

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Möchte man eine stetige Funktion $ z = f(x,y)$ mit zwei unabhängigen Variablen $ x, y $ partiell differenzieren, so muss man eine der Variablen konstant halten und die andere differenzieren. Dies gilt für $ x $ und auch für $ y $.

  • Mit $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \dot{f_x}(x, y) = \dot{z_x} $
    erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $x$,

    In diesem Fall wird $y$ als Konstante behandelt.

  • Mit $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) = \dot{f_y}(x, y) = \dot{z_y} $
    erhält man die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$.

    In diesem Fall wird $x$ als Konstante behandelt.

Diese partiellen Ableitungen sind wieder Funktionen der unabhängigen Variablen. 

Beispiel

Differenziere die folgende Funktion partiell nach $x$ und $y$:

$\ z = 3x^2 - 4xy + 3y^3 $

Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ x$ ist : $\frac{\partial z}{\partial x} = 6x - 4y $.

Die Partielle Ableitung erster Ordnung nach $\ y$ ist : $\frac{\partial z}{\partial y} = - 4x + 9y^2 $.

Merke

Da bei der partiellen Ableitung nach $\ x$ die Therme ohne $\ x$ als Konstanten gelten, fallen sie beim Ableiten einfach direkt weg (sofern diese kein $x$ beinhalten). Gleiches gilt im umgekehrten Fall.

Video: Partielle Ableitung erster Ordnung