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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Partielle Ableitung höherer Ordnung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Ableitung höherer Ordnung

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Lassen sich die Ableitungen $\ f_x(x,y)$ und $\ f_y(x,y)$ einer differenzierbaren Funktion ebenfalls differenzieren, so kann man auch die Ableitung 2. Ordnung bilden. Lässt sich dieser Vorgang mehrfach wiederholen so spricht man von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung.

Ableitungen 2. Ordnung: 

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}  f (x,y)= f_{xx} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f (x,y) = f_{xy} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial y} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x} f (x,y) = f_{yx} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial y} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y^2}  f (x,y)= f_{yy} (x,y), $

Sind die beiden Ableitungen $\ f_{xy} (x,y) $ und $\ f_{yx} (x,y)$ stetig differenzierbar, so sind sie in jedem gewählten Punkt identisch also $\ f_{xy} (x,y) $ = $\ f_{yx} (x,y)$.

Merke

Man beachte immer die Reihenfolge der Ableitungen! So wird $\ f_{xy} (x,y) $ zuerst partiell nach x abgeleitet und anschließend nach y

Beispiel

In welcher Reihenfolge wird $\frac{\partial^4 f}{\partial y \partial x \partial y \partial y} $ abgeleitet?

Zuerst leitet man die Funktion $ f $ nach $y$ ab, als Nächstes nach $x$ und anschließend wieder $2$ mal nach $y$ .

Ableitungen beliebiger [n-ter] Ordnung:

Bei mehrfacher partieller Ableitung spricht man wie bereits erwähnt von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung. Aus der formalen Schreibweise

$\frac{\partial^n}{\partial y^k \partial x^{n-k}} f(x,y) $

ist ersichtlich, dass $\ y \  $ k-mal und $\ x \   $ (n-k)-mal abgeleitet wird, wobei $\ 0 \le k \le n $.

Merke

Es gilt der Satz von Schwarz: Bildet man mehrere Partielle Ableitungen nacheinander, so kann die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden, sofern sie alle stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen. 

Anwendungsbeispiele

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$

1. Möglichkeit

Die Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$

Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$


$\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$.

2. Möglichkeit

Oder man wählt $z$ und dann $x$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_z (x,y,z) = 2zx$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{z,x} (x,y,z) = 2z$

Und $x$ und dann $z$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{xz} (x,y,z) = 2z$


$\rightarrow \ f_{zx} (x,y,z) $ = $\ f_{xz} (x,y,z)$.

3. Möglichkeit

Man wählt $z$ und dann $y$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_z (x,y,z) = 2zx$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{zy} (x,y,z) = 0$

Man wählt $y$ und dann $z$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{yz} (x,y,z) = 0$


$\rightarrow \ f_{zy} (x,y,z) $ = $\ f_{yz} (x,y,z)$.

Video: Partielle Ableitung höherer Ordnung