Partielle Ableitung höherer Ordnung

Lassen sich die Ableitungen $\ f_x(x,y)$ und $\ f_y(x,y)$ einer differenzierbaren Funktion ebenfalls differenzieren, so kann man auch die Ableitung 2. Ordnung bilden. Lässt sich dieser Vorgang mehrfach wiederholen so spricht man von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung.

Ableitungen 2. Ordnung: 

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}  f (x,y)= f_{xx} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f (x,y) = f_{xy} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial y} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x} f (x,y) = f_{yx} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial y} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y^2}  f (x,y)= f_{yy} (x,y), $

Sind die beiden Ableitungen $\ f_{xy} (x,y) $ und $\ f_{yx} (x,y)$ stetig differenzierbar, so sind sie in jedem gewählten Punkt identisch also $\ f_{xy} (x,y) $ = $\ f_{yx} (x,y)$.

Zuerst leitet man die Funktion $ f $ nach $y$ ab, als Nächstes nach $x$ und anschließend wieder $2$ mal nach $y$ .

Ableitungen beliebiger [n-ter] Ordnung:

Bei mehrfacher partieller Ableitung spricht man wie bereits erwähnt von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung. Aus der formalen Schreibweise

$\frac{\partial^n}{\partial y^k \partial x^{n-k}} f(x,y) $

ist ersichtlich, dass $\ y \  $ k-mal und $\ x \   $ (n-k)-mal abgeleitet wird, wobei $\ 0 \le k \le n $.

Anwendungsbeispiele

1. Möglichkeit

Die Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$

Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$

$\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$.

2. Möglichkeit

Oder man wählt $z$ und dann $x$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_z (x,y,z) = 2zx$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{z,x} (x,y,z) = 2z$

Und $x$ und dann $z$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{xz} (x,y,z) = 2z$

$\rightarrow \ f_{zx} (x,y,z) $ = $\ f_{xz} (x,y,z)$.

3. Möglichkeit

Man wählt $z$ und dann $y$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_z (x,y,z) = 2zx$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{zy} (x,y,z) = 0$

Man wählt $y$ und dann $z$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{yz} (x,y,z) = 0$

$\rightarrow \ f_{zy} (x,y,z) $ = $\ f_{yz} (x,y,z)$.