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Partielle Ableitung höherer Ordnung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 3: Dynamik:
 Am 06.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Lassen sich die Ableitungen $\ f_x(x,y)$ und $\ f_y(x,y)$ einer differenzierbaren Funktion ebenfalls differenzieren, so kann man auch die Ableitung 2. Ordnung bilden. Lässt sich dieser Vorgang mehrfach wiederholen so spricht man von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung.

Ableitungen 2. Ordnung: 

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x^2}  f (x,y)= f_{xx} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} f (x,y) = f_{xy} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial y} f_x (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x} f (x,y) = f_{yx} (x,y), $

$\frac{\partial}{\partial y} f_y (x,y) = \frac{\partial^2}{\partial y^2}  f (x,y)= f_{yy} (x,y), $

Sind die beiden Ableitungen $\ f_{xy} (x,y) $ und $\ f_{yx} (x,y)$ stetig differenzierbar, so sind sie in jedem gewählten Punkt identisch also $\ f_{xy} (x,y) $ = $\ f_{yx} (x,y)$.

Merke

Man beachte immer die Reihenfolge der Ableitungen! So wird $\ f_{xy} (x,y) $ zuerst partiell nach x abgeleitet und anschließend nach y

Beispiel

In welcher Reihenfolge wird $\frac{\partial^4 f}{\partial y \partial x \partial y \partial y} $ abgeleitet?

Zuerst leitet man die Funktion $ f $ nach $y$ ab, als Nächstes nach $x$ und anschließend wieder $2$ mal nach $y$ .

Ableitungen beliebiger [n-ter] Ordnung:

Bei mehrfacher partieller Ableitung spricht man wie bereits erwähnt von partiellen Ableitungen beliebiger Ordnung. Aus der formalen Schreibweise

$\frac{\partial^n}{\partial y^k \partial x^{n-k}} f(x,y) $

ist ersichtlich, dass $\ y \  $ k-mal und $\ x \   $ (n-k)-mal abgeleitet wird, wobei $\ 0 \le k \le n $.

Merke

Es gilt der Satz von Schwarz: Bildet man mehrere Partielle Ableitungen nacheinander, so kann die Reihenfolge der Ableitungen vertauscht werden, sofern sie alle stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen. 

Anwendungsbeispiele

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$

1. Möglichkeit

Die Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$

Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$


$\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$.

2. Möglichkeit

Oder man wählt $z$ und dann $x$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_z (x,y,z) = 2zx$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{z,x} (x,y,z) = 2z$

Und $x$ und dann $z$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{xz} (x,y,z) = 2z$


$\rightarrow \ f_{zx} (x,y,z) $ = $\ f_{xz} (x,y,z)$.

3. Möglichkeit

Man wählt $z$ und dann $y$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_z (x,y,z) = 2zx$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{zy} (x,y,z) = 0$

Man wählt $y$ und dann $z$:

$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$

$\frac{\partial}{\partial x} f_{yz} (x,y,z) = 0$


$\rightarrow \ f_{zy} (x,y,z) $ = $\ f_{yz} (x,y,z)$.

Video: Partielle Ableitung höherer Ordnung

Unterscheidung von Ableitungen 2. Ordnung und Ableitungen höherer Ordnung
Multiple-Choice
Differnziert man folgende Funktion $f(x,y,z) = 5x^3y^2z + x^24y$ nach $x$ und dann nach $y$ erhält man:
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Partielle Ableitung höherer Ordnung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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