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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Homogene Differentialgleichungen

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Homogene Differentialgleichungen

Es wurde bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt.

Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. 

Merke

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Die Grundvoraussetzung für das Vorliegen einer homogenen linearen Differentialgleichung ist $\ r(x) \equiv 0 $. 

Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $ sein muss. 

Lösung homogener Differentialgleichungen

Zur Lösung einer homogenen Differentialgleichung kann man auf zwei Verfahren zurückgreifen:

1. Lösung mit Hilfe der Wronski-Determinante

2. Lösung mit Hilfe des d' Alembertsche Reduktionsverfahren

Bei beiden Verfahren ist die lineare Unabhängigkeit der Funktionen $ f_1, f_2, ...f_n $ innerhalb der homogenen Differentialgleichung zu überprüfen.

Die Wronski-Determinante

Es gilt: Sind die Funktionen $ f_1, f_2,..,f_n $ auf $ I (n-1) $ - mal differenzierbar so heißt

$ W(x) := \begin{vmatrix} f_1(x) & ... & f_n(x) \\ f'_1 (x) & ... & f'_n (x)\\ ... & ... & ... & \\ ... & ... & ... & \\ f_1^{(n-a)} (x) & ... & f_n{(n-a)} (x) \end{vmatrix}$  

Die Wronski Determinante von $ f_1, f_2, ... , f_n $. 

Weiter gilt: Ist $ W (x_1) \not= 0 $ für eine Stelle $ x_1 \in I $, so sind $ f_1, f_2, .., f_n $ linear unabhängig auf $ I$. 

Merke

Hier klicken zum Ausklappen Verschwindet die Wronski Determinante an einer Stelle nicht, ist das zwar hinreichend, aber nicht notwendig für eine lineare Unabhängigkeit. 

Bei der Lösung der Differentialgleichung ist zu beachten:

Sind $\ y_1, y_2, ... y_n $ auf $\ I $ Lösungen der homogenen Differentialgleichung 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0$, 

so sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:

1. $ y_1, y_2,..., y_n $ sind auf $ I $ linear unabhängig, das heißt sie bilden auf $ I $ eine Lösungsbasis der obigen Differentialgleichung.

2. $\ W(x) \not= 0 $ gilt für jedes $ x \in I $ . 

Das d' Alembertsche Reduktionsverfahren

Voraussetzung: $\ y_1 $ ist eine Lösung der homogenen lineare Differentialgleichung 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $.

Unter Anwendung des Produktansatzes $\ y(x) = y_1(x) \cdot u(x) $ erhält man nach der Substitution von $ z = u' $ eine homogene lineare Differentialgleichung (n-1) - ter Ordnung für $ z $.

Ist $\ z $ nun eine Lösung der reduzierten Differentialgleichung, so ist $ y_2(x) = y_1(x) \int z(x) dx $.

Dies bedeutet, dass $ y_2 = y_1 \ u $ eine von $ y_1 $ linear unabhängige Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung ist. 

Für $ n=2 $ gilt demnach:

Ist $ y_1 $ eine Lösung von $ a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$, so folgt daraus, dass 

$ y_2(x) = y_1(x) \int \frac{1}{y_1^2 (x)} e^{- \int \frac{a_1(x)}{a_2(x)}dx} dx $

und 

$ y = c_1y_1 + c_2y_2 $

die Gesamtlösung der Differentialgleichung sind. 

Anwendungsbeispiele: Homogene Differentialgleichung

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen Löse folgende homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit dem d' Alembertschen Reduktionsverfahren.

$\ (1 + x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0 $. 

Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass $ y_1 = x$  eine Lösung ist. Setzt man für $y = x$ und für $y' = 1$ (1. Ableitung von $x$) und für $y'' = 0$ (2. Ableitung von $x$) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null.

Daraus folgt $\rightarrow  y(x) = x \cdot u(x) $

$y' = xu' + u$

$y'' = xu'' + u' + u' = xu'' +  2u' $.

Diese setzt man nun in die Differentialgleichung ein und erhält

$ (1 + x^2)(u''x + 2u') - 2x (u'x + u) + 2ux = 0 $ [Ausmultiplizieren und Kürzen]

$ u''(1 + x^2)x + u' \cdot 2 = 0 $. Diese Differentialgleichung beinhaltet kein $ u $ mehr. 

Somit ist $ z = u' $ also $ z'(1+x^2)x + 2z = 0 $, eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung für $ z $.

Mit Trennung der Veränderlichen ergibt sich:

$ z(x) = u'(x) = \frac{1+x^2}{x^2} = 1 + \frac{1}{x^2} \rightarrow u(x) = x - \frac{1}{x} + c, c\in \mathbb{R} $

$ y_2 = y_1 \cdot u = ( x - \frac{1}{x})x = x^2 - 1$ 

Nun weiß man, dass $ y_2 = x^2 - 1 $ eine von $ y_1 = x $ linear unabhängige Lösung ist.

Die Gesamtlösung der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung ist folglich

$\ y = c_1 x + c_2(x^2 - 1), c_1 , c_2 \in \mathbb{R} $.