Homogene Differentialgleichungen

Es wurde bereits kurz erwähnt, dass eine homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung die Form

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = r(x), x \in \mathbb{R}$ besitzt.

Dass $\ a_K (x)$ die Koeffizientenfunktionen darstellen, und dass $\ r(x) $ für die Störfunktion steht, ist auch bekannt. 

Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung dass die Gesamtlösung der homogenen Differentialgleichung 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $ sein muss. 

Lösung homogener Differentialgleichungen

Zur Lösung einer homogenen Differentialgleichung kann man auf zwei Verfahren zurückgreifen:

1. Lösung mit Hilfe der Wronski-Determinante

2. Lösung mit Hilfe des d' Alembertsche Reduktionsverfahren

Bei beiden Verfahren ist die lineare Unabhängigkeit der Funktionen $ f_1, f_2, ...f_n $ innerhalb der homogenen Differentialgleichung zu überprüfen.

Die Wronski-Determinante

Es gilt: Sind die Funktionen $ f_1, f_2,..,f_n $ auf $ I (n-1) $ - mal differenzierbar so heißt

$ W(x) := \begin{vmatrix} f_1(x) & ... & f_n(x) \\ f'_1 (x) & ... & f'_n (x)\\ ... & ... & ... & \\ ... & ... & ... & \\ f_1^{(n-a)} (x) & ... & f_n{(n-a)} (x) \end{vmatrix}$  

Die Wronski Determinante von $ f_1, f_2, ... , f_n $. 

Weiter gilt: Ist $ W (x_1) \not= 0 $ für eine Stelle $ x_1 \in I $, so sind $ f_1, f_2, .., f_n $ linear unabhängig auf $ I$. 

Bei der Lösung der Differentialgleichung ist zu beachten:

Sind $\ y_1, y_2, ... y_n $ auf $\ I $ Lösungen der homogenen Differentialgleichung 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0$, 

so sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend:

1. $ y_1, y_2,..., y_n $ sind auf $ I $ linear unabhängig, das heißt sie bilden auf $ I $ eine Lösungsbasis der obigen Differentialgleichung.

2. $\ W(x) \not= 0 $ gilt für jedes $ x \in I $ . 

Das d' Alembertsche Reduktionsverfahren

Voraussetzung: $\ y_1 $ ist eine Lösung der homogenen lineare Differentialgleichung 

$\ y^{(n)} + a_{n-a}(x)y^{(n-a)} + ..... + a_1(x)y' + a_0 (x)y = 0 $.

Unter Anwendung des Produktansatzes $\ y(x) = y_1(x) \cdot u(x) $ erhält man nach der Substitution von $ z = u' $ eine homogene lineare Differentialgleichung (n-1) - ter Ordnung für $ z $.

Ist $\ z $ nun eine Lösung der reduzierten Differentialgleichung, so ist $ y_2(x) = y_1(x) \int z(x) dx $.

Dies bedeutet, dass $ y_2 = y_1 \ u $ eine von $ y_1 $ linear unabhängige Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung ist. 

Für $ n=2 $ gilt demnach:

Ist $ y_1 $ eine Lösung von $ a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0$, so folgt daraus, dass 

$ y_2(x) = y_1(x) \int \frac{1}{y_1^2 (x)} e^{- \int \frac{a_1(x)}{a_2(x)}dx} dx $

und 

$ y = c_1y_1 + c_2y_2 $

die Gesamtlösung der Differentialgleichung sind. 

Anwendungsbeispiele: Homogene Differentialgleichung

Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass $ y_1 = x$  eine Lösung ist. Setzt man für $y = x$ und für $y' = 1$ (1. Ableitung von $x$) und für $y'' = 0$ (2. Ableitung von $x$) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null.

Daraus folgt $\rightarrow  y(x) = x \cdot u(x) $

$y' = xu' + u$

$y'' = xu'' + u' + u' = xu'' +  2u' $.

Diese setzt man nun in die Differentialgleichung ein und erhält

$ (1 + x^2)(u''x + 2u') - 2x (u'x + u) + 2ux = 0 $ [Ausmultiplizieren und Kürzen]

$ u''(1 + x^2)x + u' \cdot 2 = 0 $. Diese Differentialgleichung beinhaltet kein $ u $ mehr. 

Somit ist $ z = u' $ also $ z'(1+x^2)x + 2z = 0 $, eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung für $ z $.

Mit Trennung der Veränderlichen ergibt sich:

$ z(x) = u'(x) = \frac{1+x^2}{x^2} = 1 + \frac{1}{x^2} \rightarrow u(x) = x - \frac{1}{x} + c, c\in \mathbb{R} $

$ y_2 = y_1 \cdot u = ( x - \frac{1}{x})x = x^2 - 1$ 

Nun weiß man, dass $ y_2 = x^2 - 1 $ eine von $ y_1 = x $ linear unabhängige Lösung ist.

Die Gesamtlösung der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung ist folglich

$\ y = c_1 x + c_2(x^2 - 1), c_1 , c_2 \in \mathbb{R} $.