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Inhomogene Differentialgleichungen

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Wir haben bereits erfahren, dass die allgemeine Lösung, bzw. die Lösungsgesamtheit einer linearen Differentialgleichung aus den Lösungsgesamtheit der homogenen Differentialgleichung $ y_H $ und der  Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ besteht.  Sind die Lösungen $ y_H = c_1y_1 + ... c_ny_n $ der homogenen Differentialgleichung bekannt, so lässt sich auch eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmen. 

Allgemein

Gegeben sei die inhomogene lineare Differentialgleichung $y_S$

$y^{n} + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1(x)y´+ a_0(x)y = r(x)$

und die homogene Differentialgleichung $y_H$

$y^{n} + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1(x)y´+ a_0(x)y = 0$

Merke

Die inhomogene unterschiedet sich von der homogenen Differentialgleichung indem $r(x) \not= 0$.

Ist $y_h$ die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und $y_S$ die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung so gilt:

$y_A = y_H + y_S$

Man berechnet also zuerst die Lösung der homogenen Differentialgleichung $y_H = c_1y_1 + c_2y_2 + ... + c_ny_n$  und danach macht man den folgenden Ansatz zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung:

Variation der Konstanten

Nach diesem Ansatz ist

$ y_S = c_1(x)y_1 + c_2(x)y_2 + ... + c_n (x)y_n$.

Dies liefert aus dem linearen Gleichungssystem für $ c'_1(x), c'_2(x), ... , c'_n(x) $ 

$ c'_1y_1 + c'_2y_2 + ... + c'_ny_0n = 0 $

$ c'_1y'_1 + c'_2y'_2 + ... + c'_ny'_n = 0 $

...

...

$ c'_1y_1^{(n-2)} + c'_2y_2^{(n-2)} + ... + c'_ny_n^{(n-2)} = 0 $

$ c'_1y_1^{(n-1)} + c'_2y_2^{(n-1)} + ... + c'_ny_n^{(n-1)} = r(x) $

die Wronski Matrix, deren Determinante nirgends gleich Null ist, sofern $ a_0 (x), ... a_{n-1}(x)$ stetig ist:


$ W(x) := \begin{vmatrix} f_1(x) & ... & f_n(x) \\ f'_1 (x) & ... & f'_n (x)\\ ... & ... & ... & \\ ... & ... & ... & \\ f_1^{(n-a)} (x) & ... & f_n{(n-a)} (x) \end{vmatrix}$     $\neq 0$

Cramersche Regel

Unter Anwendung der Cramerschen Regel erhält man nun

$\ c'_k (x) = \frac{W_k(x)}{W(x)}, $ mit $ k = 1,.., n . $

Hierbei ist $ W(x) $ die bereits bekannte Wronski Determinante und $ W_k (x)$ eine Wronski Determinante, deren $k$ - te Spalte durch $\left(\begin{array}{c} 0 \\ ... \\ ... \\ 0 \\ r(x) \end {array}\right)$ ersetzt wurde.

Die Integration liefert 

$\ c_k (x) = \int \frac{W_k(x)}{W(x)} dx $. 

Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit

$ y_S(x) = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$. 

Anwendungsbeispiel: Inhomogene Differentialgleichung

Beispiel

Bestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung
$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$.
Lösungsgesamtheit homogene Differentialgleichung

Die zugehörige homogene Differentialgleichung ist $ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = 0 $.

Sie besitzt die Lösungen $ y_1 = x $ und $ y_2 = e^x $.

Lösungsgesamtheit Inhomogene Differentialgleichung

Ist die Lösung der homogenen Differentialgleichung bekannt, kann mit dem Ansatz [Variation der Konstanten] zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung  $y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1 = r(x)$  begonnen werden:

Variation der Konstanten:

$ y_S = c_1(x)y_1 + c_2(x)y_2 + ... + c_n (x)y_n$.

Die sich hieraus ergebene  Wronski-Determinante ist

$ W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y'_1 &y'_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & e_x \\ 1 & e_x \end{vmatrix} = (x \cdot e^x) - (e^x \cdot 1) = (x-1)e^x \not= 0 $  für $ x \not= 1$. 

Anwendung der Cramerschen Regel:

$ \ c'_1(x) = \frac{W_1(x)}{W(x)}$  

mit

$W(x) = (x - 1) e^x, \; \; W_1(x) = \begin{vmatrix} 0 & e^x \\ x-1 & e^x \end{vmatrix} \; \; \rightarrow \; $ Die 1. Spalte wurde durch $\begin{pmatrix} 0 \\ r(x) \end{pmatrix}$ ersetzt, wobei $r(x) = x-1$ ist (rechte Seite der inhomogenen Differentialgleichung).

$ \ c'_1(x) = \frac{W_1(x)}{W(x)} $

$= \frac{1}{(x-1)e^x} \cdot  \begin{vmatrix} 0 & e^x \\ x-1 & e^x \end{vmatrix} = \frac{1}{(x-1)e^x} \cdot (0 \cdot e^x - (e^x \cdot (x-1))) = -1$

$\rightarrow $ daraus folgt  durch Integration $ c_1(x) = -x $ 

$ \ c'_2(x) = \frac{W_2(x)}{W(x)} = \frac{1}{(x-1)e^x} \begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & x-1 \end{vmatrix} = \frac{x}{e^{x}}$

$\rightarrow $ daraus folgt  durch Integration $ c_2(x) = \int xe^{-x} = - (x+1)e^{-x} $

 Die Spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit

$ y_S = -x \cdot x - (x + 1)e^{-x} \cdot e^x = -x^2 - x - 1 $ 


Jetzt ist es auch möglich die Gesamtlösung der linearen Differentialgleichung darzustellen:

$\ y = y_H + y_S = c_1 x + c_2 e^x - x^2 - x - 1, c_1, c_2 \in \mathbb{R} $

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Autor: Jan Morthorst

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