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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Inhaltsverzeichnis

Eine Differentialgleichung, welche die Form

Methode

$ y' = f(x) \cdot g(y) $                            Trennung der Veränderlichen T.d.V

besitzt, nennt man Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Um hieraus Lösungen zu erhalten, bedient man sich der Methode der "Trennung der Veränderlichen":

Methode

$\ y' = \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \rightarrow \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx $.

Merke

Aus dieser Beziehung ergeben sich 2 Aussagen bezüglich der Lösungsgesamtheit

1. In der Lösungsgesamtheit befinden sich alle Geraden $ y = y_0 $, für die $g(y_0) = 0 $, also $ y_0 $ eine Nullstelle der Funktion $ g(y) $ ist.

2. Zudem befinden sich in der Lösungsgesamtheit alle Funktionen $ y = y(x) $, die sich aus $ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x) \; dx$, $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. 

Anwendungsbeispiel: TDV

Beispiel

Lösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!

0. Zerlegung der Veränderlichen 

Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$

mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $

1. Bestimmung der Nullstellen von g(y):

$ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $


Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] Lösungen. 

2. Trennung der Veränderlichen:

Die Trennung der Veränderlichen erfolgt durch:

$\frac{dy}{gy} = f(x) \; dx$


Einsetzen von $g(y) = y(y - 1)$ und $f(x) = -2x$ ergibt:

$\frac{dy}{y(y - 1)} = -2x \; dx $

3. Integralschreibweise

Beide Seiten der obigen Gleichung werden mit einen Integral versehen

$\int \frac{dy}{y(y-1)} = \int -2x \ dx $ 


Umstellen:

$\int \frac{1}{y(y-1)} \; dy = \int -2x \ dx $ 

2. Auflösen der Integrale 

$\int -2x \ dx = -x^2 $ 

$\int \frac{dy}{y(y-1)} = ln|\frac{y-1}{y}|$

3. Vereinfachen

$ ln |\frac{y-1}{y}| = - x^2 + k $  [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten!]

$ |\frac{y-1}{y}| = e^{-x^2 + k} =e^k e^{-x^2} $

$ \frac{y-1}{y} = c \cdot e^{-x^2}$ , [ $c$ wird anstelle der Konstanten $e^k$ verwendet mit $ c \not= 0$] 

4. Auflösen nach y

$\frac{y-1}{y} = \frac{y}{y} - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} $

$= 1 - \frac{1}{y} = c \cdot e^{-x^2} \rightarrow -\frac{1}{y} = -1 + c \cdot e^{-x^2} $   [$ \cdot (-) $ und Kehrwert bilden]

$y = \frac{1}{1 -c\cdot e^{-x^2}} $ mit $ c\not= 0$

Diese Lösungsschar liefert für $c= 0$ die partikuläre Lösung $y = 1$.

5. Gesamtlösung

Die Gesamtlösung besteht also aus der Schar $ y = \frac{1}{1 -c\cdot e^{-x^2}}, c \in \mathbb{R}$  und der partikulären Lösung $ y = 0$.