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Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung:

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

In diesem Abschnitt wird die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung behandelt. Diese besitzt die Form:

Methode

$y' + a(x) \; y = r(x)$                              lineare DGL 1. Ordnung


Die Gesamtlösung einer linearen Differentialgleichung ist:

Methode

$y = y_S + y_H$                                         Gesamtlösung

mit

$y_S $ Gesamtlösung der homogen Differentialgleichung

$y_H$  Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

InHomogene Differentialgleichung

$y_S$ stellt dabei eine Lösung der inhomogen Differentialgleichung mit der Form

Methode

$y' + a(x) \; y = r(x) $

dar.

$y_S$ wird berechnet durch:

Methode

$y_S = e^{-A(x)} \cdot \int r(x) e^{A(x)} dx$    mit $A(x) = \int a(x) \; dx$

Homogene Differentialgleichung

Die dazugehörige homogene Differentialgleichung $ y_H $ hat die Eigenschaft 

Methode

$y' + a(x) \; y = 0 $.

$y_H$ wird berechnet durch:

Methode

$y_H = c \; e^{-A(x)} $  mit  $A(x) = \int a(x) \; dx$.

Anfangswertaufgabe

Zur Lösung der Anfangswertaufgabe mit der Form

Methode

$y´+ a(x)y = r(x), \; \; y(x_0) = y_0$ 

wird folgende Formel angewandt:

Methode

$y(x) = e^{-A(x)} \cdot \int\limits_{x_0}^x r(t)^{A(t)} \; dt + y_0 e^{-A(x)}$  mit   $A(x) = \int\limits_{x_0}^x a(t) \; dt$

Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Kurs: Höhere Mathematik 2
    • Einleitung zu Kurs: Höhere Mathematik 2
  • Darstellungsarten ebener Kurven
    • Einleitung zu Darstellungsarten ebener Kurven
    • Implizite- und explizite Darstellung
    • Polarkoordinatendarstellung
    • Parameterdarstellung
  • Kurveneigenschaften im ebenen Raum
    • Tangentenvektor
    • Hauptnormalenvektor
    • Bogenlänge
    • Krümmung
      • Krümmungsradius
      • Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
      • Evolute
      • Evolvente
  • Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    • Einleitung zu Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    • Tangentenvektor im Raum
    • Hauptnormalenvektor im Raum
    • Binormalenvektor im Raum
    • Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    • Bogenlänge im Raum
    • Krümmung und Torsion im Raum
  • Funktionen mehrerer Veränderlicher
    • Einleitung zu Funktionen mehrerer Veränderlicher
    • Höhen- und Schnittlinien
    • Stetigkeit und Unstetigkeit
    • Partielle Ableitung
      • Einleitung zu Partielle Ableitung
      • Partielle Ableitung erster Ordnung
      • Partielle Ableitung höherer Ordnung
    • Totales Differential
    • Gradient
    • Richtungsableitung
    • Kettenregel
    • Extremwerte
      • Einleitung zu Extremwerte
      • Extremwerte ohne Nebenbedingungen
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        • Einleitung zu Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
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    • Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
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