In diesem Abschnitt wird die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung behandelt. Diese besitzt die Form:
Methode
$y' + a(x) \; y = r(x)$ lineare DGL 1. Ordnung
Die Gesamtlösung einer linearen Differentialgleichung ist:
Methode
$y = y_S + y_H$ Gesamtlösung
mit
$y_H $ Gesamtlösung der homogen Differentialgleichung
$y_S$ Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
Inhomogene Differentialgleichung
$y_S$ stellt dabei eine Lösung der inhomogen Differentialgleichung mit der Form
Methode
$y' + a(x) \; y = r(x) $
dar.
$y_S$ wird berechnet durch:
Methode
$y_S = e^{-A(x)} \cdot \int r(x) e^{A(x)} dx$ mit $A(x) = \int a(x) \; dx$
Homogene Differentialgleichung
Die dazugehörige homogene Differentialgleichung $ y_H $ hat die Eigenschaft
Methode
$y' + a(x) \; y = 0 $.
$y_H$ wird berechnet durch:
Methode
$y_H = c \; e^{-A(x)} $ mit $A(x) = \int a(x) \; dx$.
Anfangswertaufgabe
Zur Lösung der Anfangswertaufgabe mit der Form
Methode
$y´+ a(x)y = r(x), \; \; y(x_0) = y_0$
wird folgende Formel angewandt:
Methode
$y(x) = e^{-A(x)} \cdot \int\limits_{x_0}^x r(t)^{A(t)} \; dt + y_0 e^{-A(x)}$ mit $A(x) = \int\limits_{x_0}^x a(t) \; dt$
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