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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

In diesem Abschnitt wird die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung behandelt. Diese besitzt die Form:

Methode

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$y' + a(x) \; y = r(x)$                              lineare DGL 1. Ordnung


Die Gesamtlösung einer linearen Differentialgleichung ist:

Methode

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$y = y_S + y_H$                                         Gesamtlösung

mit

$y_S $ Gesamtlösung der homogen Differentialgleichung

$y_H$  Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

Inhomogene Differentialgleichung

$y_S$ stellt dabei eine Lösung der inhomogen Differentialgleichung mit der Form

Methode

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$y' + a(x) \; y = r(x) $

dar.

$y_S$ wird berechnet durch:

Methode

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$y_S = e^{-A(x)} \cdot \int r(x) e^{A(x)} dx$    mit $A(x) = \int a(x) \; dx$

Homogene Differentialgleichung

Die dazugehörige homogene Differentialgleichung $ y_H $ hat die Eigenschaft 

Methode

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$y' + a(x) \; y = 0 $.

$y_H$ wird berechnet durch:

Methode

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$y_H = c \; e^{-A(x)} $  mit  $A(x) = \int a(x) \; dx$.

Anfangswertaufgabe

Zur Lösung der Anfangswertaufgabe mit der Form

Methode

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$y´+ a(x)y = r(x), \; \; y(x_0) = y_0$ 

wird folgende Formel angewandt:

Methode

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$y(x) = e^{-A(x)} \cdot \int\limits_{x_0}^x r(t)^{A(t)} \; dt + y_0 e^{-A(x)}$  mit   $A(x) = \int\limits_{x_0}^x a(t) \; dt$