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Technische Mechanik 3: Dynamik - Gleichförmige Bewegung

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Gleichförmige Bewegung

In den nun folgenden Abschnitten werden die kinematischen Grundaufgaben betrachtet. Den Anfang macht dabei die Gleichförmige Bewegung.

Merke

Hier klicken zum AusklappenIst die Beschleunigung gleich null, also $a = 0$, so handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung.

Die Beschleunigung ergibt sich aus der Ableitung der Geschwindigkeit $v$. 

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$a = \dot{v} = \frac{dv}{dt} = 0$.

Bestimmung der Geschwindigkeit

Will man nun die Geschwindigkeit bei gegebener Beschleunigung bestimmen, so muss eine Integration der Beschleunigung nach der Zeit $t$ durchgeführt werden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\int dv = \int a \; dt$

Die bestimmte Integration liefert:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\int_{v_0}^{v} dv = \int_{t_0}^{t} a \; dt$

$v - v_0 = a(t - t_0)$

Da die Beschleunigung null ist $a = 0$ erkennt man sofort, dass die Geschwindigkeit konstant ist:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$v = v_0 $

Es ergibt sich also eine konstante Geschwindigkeit, welche als $v_0$ bezeichnet wird. Diese Bewegung, bei welcher die Beschleunigung Null ist und die Geschwindigkeit konstant, nennt man, wie bereits oben erwähnt: Gleichförmige Bewegung.

Bestimmung des Ortes

Um nun daraus den Ort $x$ zu bestimmen muss man nochmals integrieren. Die Geschwindigkeit wurde durch die Ableitung von $x$ nach der Zeit $t$ bestimmt:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$v_0 = \frac{dx}{dt}$.

Demnach kann man nun den Ort $x$ durch Integration der Geschwindigkeit bestimmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\int dx = \int v_0 \; dt$.

Die bestimmte Integration liefert:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$\int_{x_0}^{x} dx = \int_{t_0}^t v_0 \; dt$.

$x - x_0 = v_0 \cdot (t - t_0)$

Damit ergibt sich der Ort $x$ zu:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen$x = x_0 + v_0(t - t_0)$

Das bedeutet also, dass bei einer geradlinigen gleichförmigen Bewegung die obige Formel angewandt werden kann, um den Ort $x$ zu bestimmen.