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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Krümmungsradius

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Krümmungsradius

Bevor die Krümmung einer Kurve bestimmt wird, wird definiert was der Krümmungskreis einer Kurve ist. Der Krümmungskreis zu einem bestimmten Punkt $P$ einer ebenen Kurve ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt $M_0$. 

Der Krümmungsradius des Krümmungskreises wird wie folgt bestimmt:

$r = |\frac{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}{f´´(x)}|$               Explizite Darstellung

$r = |\frac{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}{\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}}|$                      Parameterdarstellung

Anwendungsbeispiel

Beispiel

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Gegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius.

Krümmungsradius

Zuerst werden die beiden Ableitungen gebildet:

$f´(x) = x$

$f´´(x) = 1$

Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen:

$r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$  

Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$.

Krümmungsradius
Krümmungsradius