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Krümmungsradius

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Bevor die Krümmung einer Kurve bestimmt wird, wird als erstes gezeigt, was der Krümmungskreis einer Kurve ist. Der Krümmungskreis zu einem bestimmten Punkt $P$ einer ebenen Kurve ist der Kreis, der die Kurve in diesem Punkt am besten annähert. Den Mittelpunkt des Krümmungskreises nennt man Krümmungsmittelpunkt $M_0$. 

Der Krümmungsradius des Krümmungskreises wird wie folgt bestimmt:

$r = |\frac{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}{f´´(x)}|$               Explizite Darstellung

$r = |\frac{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}{\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}}|$                      Parameterdarstellung

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Gegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius.

Krümmungsradius

Als erstes die beiden Ableitungen bilden:

$f´(x) = x$

$f´´(x) = 1$

Dann in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen:

$r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$  

Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$.

Krümmungsradius
Krümmungsradius
Multiple-Choice
Gegeben sei  $f(x) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{pmatrix}$. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Krümmungsradius ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

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  • Kurs: Höhere Mathematik 2
    • Einleitung zu Kurs: Höhere Mathematik 2
  • Darstellungsarten ebener Kurven
    • Einleitung zu Darstellungsarten ebener Kurven
    • Implizite- und explizite Darstellung
    • Polarkoordinatendarstellung
    • Parameterdarstellung
  • Kurveneigenschaften im ebenen Raum
    • Tangentenvektor
    • Hauptnormalenvektor
    • Bogenlänge
    • Krümmung
      • Krümmungsradius
      • Krümmungsmittelpunkt / Krümmung
      • Evolute
      • Evolvente
  • Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    • Einleitung zu Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum
    • Tangentenvektor im Raum
    • Hauptnormalenvektor im Raum
    • Binormalenvektor im Raum
    • Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    • Bogenlänge im Raum
    • Krümmung und Torsion im Raum
  • Funktionen mehrerer Veränderlicher
    • Einleitung zu Funktionen mehrerer Veränderlicher
    • Höhen- und Schnittlinien
    • Stetigkeit und Unstetigkeit
    • Partielle Ableitung
      • Einleitung zu Partielle Ableitung
      • Partielle Ableitung erster Ordnung
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    • Totales Differential
    • Gradient
    • Richtungsableitung
    • Kettenregel
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    • Einleitung zu Gewöhnliche Differentialgleichungen
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      • Einleitung zu Picard-Lindelöf
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        • Einleitung zu Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
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      • Einleitung zu Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung
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        • Einleitung zu Spezielle Differentialgleichungen
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      • Integrierender Faktor
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      • Einleitung zu Differentialgleichung höherer Ordnung
      • Homogene Differentialgleichungen
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      • Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
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