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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Kritische Knickspannung

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Kritische Knickspannung

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die kritische Knickspannung $\sigma_K$ bestimmt.

Merke

Die kritische Knickspannung $\sigma_K$ ist die Spannung, die unter der kritischen Knickkraft $F_K$ entsteht. 

Die kritische Knickspannung $\sigma_K$ lässt sich durch die folgende Formel berechnen:

Methode

$\sigma_K = \frac{\pi^2 \cdot E}{\lambda^2}$

mit

$E = \text{E-Modul}$

$\lambda = \text{Schlankheitsgrad}$

Der Schlankheitsgrad $\lambda$ bezieht sich auf die Geometrie und die Lagerung des Stabs. Er kann wie folgt bestimmt werden: 

Methode

$\lambda = \frac{l_k}{i}$

mit

$l_k = \text{Knicklänge}$

$i = \text{Trägheitsradius} $

Der Trägheitsradius lässt sich bestimmen durch:

Methode

$i= \sqrt{\frac{I}{A}}$

mit

$I = \text{axiales Flächenträgheitsmoment}$

$A = \text{Querschnittsfläche des Stabes}$

Anwendungsbeispiel: Bestimmung der kritischen Knickspannung

Es wird das Beispiel aus dem vorherigen Abschnitt betrachtet:

Beispiel kritische Knickspannung
Beispiel 

Beispiel

Gegeben sei der obige Stab mit kreisförmigem Querschnitt. Der Stab ist am Boden fest eingespannt. Die Länge des Stabes sei $l = 750mm$ mit einem Durchmesser von $d = 10mm$. Es handelt sich hierbei um den Werkstoff S235 (St 37). Wie groß ist die kritische Knickspannung?

Es wurde im vorherigen Abschnitt bereits das axiale Flächenträgheitsmoment bestimmt mit:

$I = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi \cdot (5mm)^4}{4} = 490,87 mm^4$

Außerdem die Knicklänge mit:

$l_k = 2l = 2 \cdot 750mm = 1.500mm$.

Außerdem das E-Modul (aus Tabelle):

$E = 2,1 \cdot 10^5 N/mm^2$

Die Querschnittsfläche $A$ wird bestimmt mit der Formel für einen Kreis:

$A = \pi r^2 = \pi (5mm)^2 = 78,54mm^2$

Es kann schon einmal der Trägheitsradius bestimmt werden:

$i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{490,87 mm^4}{78,54mm^2}} = 2,50mm$

Als nächstes wird der Schlankheitsgrad bestimmt:

$\lambda = \frac{l_k}{i} = \frac{1.500mm}{2,50mm} = 600$

Es sind nun alle Werte gegeben, um die Knickspannung zu berechnen:

$\sigma_K = \frac{\pi^2 \cdot E}{\lambda^2}$

Methode

$\sigma_K = \frac{\pi^2 \cdot 210.000 N/mm^2}{600^2} = 5,76 N/mm^2$