Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die kritische Knickspannung $\sigma_K$ bestimmt.
Merke
Die kritische Knickspannung $\sigma_K$ ist die Spannung, die unter der kritischen Knickkraft $F_K$ entsteht.
Die kritische Knickspannung $\sigma_K$ lässt sich durch die folgende Formel berechnen:
Methode
$\sigma_K = \frac{\pi^2 \cdot E}{\lambda^2}$
mit
$E = \text{E-Modul}$
$\lambda = \text{Schlankheitsgrad}$
Der Schlankheitsgrad $\lambda$ bezieht sich auf die Geometrie und die Lagerung des Stabs. Er kann wie folgt bestimmt werden:
Methode
$\lambda = \frac{l_k}{i}$
mit
$l_k = \text{Knicklänge}$
$i = \text{Trägheitsradius} $
Der Trägheitsradius lässt sich bestimmen durch:
Methode
$i= \sqrt{\frac{I}{A}}$
mit
$I = \text{axiales Flächenträgheitsmoment}$
$A = \text{Querschnittsfläche des Stabes}$
Beispiel: Bestimmung der kritischen Knickspannung
Es wird das Beispiel aus dem vorherigen Abschnitt betrachtet:
Beispiel
Gegeben sei der obige Stab mit kreisförmigem Querschnitt. Der Stab ist am Boden fest eingespannt. Die Länge des Stabes sei $l = 750mm$ mit einem Durchmesser von $d = 10mm$. Es handelt sich hierbei um den Werkstoff S235 (St 37). Wie groß ist die kritische Knickspannung?
Es wurde im vorherigen Abschnitt bereits das axiale Flächenträgheitsmoment bestimmt mit:
$I = \frac{\pi r^4}{4} = \frac{\pi \cdot (5mm)^4}{4} = 490,87 mm^4$
Außerdem die Knicklänge mit:
$l_k = 2l = 2 \cdot 750mm = 1.500mm$.
Außerdem das E-Modul (aus Tabelle):
$E = 2,1 \cdot 10^5 N/mm^2$
Die Querschnittsfläche $A$ wird bestimmt mit der Formel für einen Kreis:
$A = \pi r^2 = \pi (5mm)^2 = 78,54mm^2$
Es kann schon einmal der Trägheitsradius bestimmt werden:
$i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{490,87 mm^4}{78,54mm^2}} = 2,50mm$
Als nächstes wird der Schlankheitsgrad bestimmt:
$\lambda = \frac{l_k}{i} = \frac{1.500mm}{2,50mm} = 600$
Es sind nun alle Werte gegeben, um die Knickspannung zu berechnen:
$\sigma_K = \frac{\pi^2 \cdot E}{\lambda^2}$
Methode
$\sigma_K = \frac{\pi^2 \cdot 210.000 N/mm^2}{600^2} = 5,76 N/mm^2$
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