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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Krümmungsmittelpunkt / Krümmung

Die Krümmung  $\kappa$  einer Kurve $\ K $ ist ein Maß für die Abweichung vom geradlinigen Verlauf der Kurve. Da ein Kreis in jedem Punkt dieselbe Krümmung besitzt, wird dieser verwendet um die Krümmung eines bestimmten Punktes einer Kurve zu bestimmen. Für die Krümmung in der Ebene gilt (Parameterdarstellung):

$\kappa (x) =  \frac{f´´(x)}{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}$

bzw. der Betrag von $\kappa$ hat folgenden Zusammenhang mit dem Radius:

$|\kappa (x) | = \frac{1}{r}$

Besitzt  $\kappa $  den Wert Null, so ist die Kurve eine Gerade.

Es lässt sich in der Ebene zudem bestimmen, ob eine Krümmung positiv oder negativ ist. Positiv ist die Krümmung, wenn die Kurve sich in Richtung des zuvor bestimmten Normalenvektors krümmt (also nach links) und negativ, wenn die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts). 

Merke

Das Krümmungsmaß einer Kurve an einem bestimmten Punkt kann über den Radius eines Kreises errechnet werden, indem der Kehrwert des Krümmungskreisradius gebildet wird. Ein großer Kreisradius bedeutet eine schwache Krümmung und ein kleiner Radius bedeutet eine starke Krümmung.


Beispiel:

$r = 1 \ \rightarrow \ |\kappa| = 1$

$r = 2 \ \rightarrow \ |\kappa| = 0,5$

$r = 0,5 \ \rightarrow \ |\kappa| = 2$

Kreisradius und Krümmung
Kreisradius und Krümmung

Krümmungsmittelpunkt

Der Krümmungsmittelpunkt wird wie folgt bestimmt:

$\vec{x_m} = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

bzw.

$x_M = x_0 + \frac{1 + (f´(x_0))^2}{f´´(x_0)} \cdot f´(x_0)$

$y_M = f(x_0) \cdot \frac{1 + (f´(x_0))^2}{f´´(x_0)}$

Überblick über die verschiedenen Darstellungsarten der Krümmung

KurveKrümmung
Explizit

$y = f(x)$		$\kappa(x) = \frac{f´´(x)}{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}$
Parameter

$\vec{x} = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}$		$\kappa(t) = \frac{\dot{x}\ddot{y} - \ddot{x}\dot{y}}{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{\frac{3}{2}}}$
Polarkoordinaten

$r = r(\varphi)$		$\kappa(\varphi) = \frac{r^2 + 2r^2 - r\ddot{r}}{(r^2 + \dot{r}^2)^{\frac{3}{2}}}$


Negative Krümmung

Beispiel

Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^3 - x$ in expliziter Darstellung. Die Krümmung soll für $x_1 = -0,5$ bestimmt werden.

Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor 

Zum besseren Verständnis wird der Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe entsprechende Kapitel).

Der dazugehörige Tangentenvektor ist: $\vec{t} = (1, f´(x)) = (1, 3x^2 - 1)$

Für $x_1: \ \vec{t} = (1, -0,25)$

Der dazugehörige Normalenvektor ist: $\vec{n} = (-f´(x), 1) = (-(3x^2 - 1), 1)$

Für $x_1: \ \vec{n} = (0,25, 1)$

Grafisch bedeutet dies:

Krümmung
Tangenten- und Normalenvektor

Bestimmung der Krümmung 

Zuerst wird der Krümmungsradius für $x_1 = -0,5$ bestimmt:

$r = |\frac{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}{f´´(x)}| = |\frac{(1 + (-0,25)^2)^{\frac{3}{2}}}{-3}| \approx 0,3651$   

Als nächstes wird die Krümmung der Kurve in diesem Punkt ermittelt:

 $\kappa(x) = \frac{-3}{(1 + (-0,25)^2)^{\frac{3}{2}}} = -2,74$

Die Krümmung der Kurve für $x_1 = -0,5$ ist $\kappa = -2,74$.

Für den Krümmungsmittelpunkt ergibt sich:

$\vec{x_m} = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

$\vec{x_M} = (-0,5, \ 0,375) + \frac{1}{-2,74} \cdot \begin{pmatrix} 0,25 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{0,25^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} -0,58 \\ 0,02 \end{pmatrix}$

Negative Krümmung
Negative Krümmung

Das Krümmungsmaß $\kappa = -2,74$ sagt aus, dass die Krümmung stärker ist als bei einem Einheitskreis ($\kappa = 1$). Das bedeutet gleichzeitig, dass der Kreis kleiner ist als der Einheitskreis.

Das negative Vorzeichen besagt, dass die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts) bzw. dass die Funktion in diesem Punkt konkav ist. 

Merke

Ist die Krümmung negativ, so ist die Funktion an dieser Stelle konkav. Ist die Krümmung hingegen positiv, so ist die Funktion an dieser Stelle konvex.

Positive Krümmung

Beispiel

Gegeben sei erneut die Funktion: $f(x) = x^3 - x$ in expliziter Darstellung. Die Krümmung soll nun für $x_1 = 0,5$ bestimmt werden.

Der dazugehörige Tangentenvektor ist: $\vec{t} = (1, f´(x)) = (1, 3x^2 - 1)$

Für $x_1: \ \vec{t} = (1, -0,25)$

Der dazugehörige Normalenvektor ist: $\vec{n} = (-f´(x), 1) = (-(3x^2 - 1), 1)$

Für $x_1: \ \vec{n} = (0,25, 1)$

Der Radius ist:

$r = |\frac{(1 + (f´(x))^2)^{\frac{3}{2}}}{f´´(x)}| = |\frac{(1 + (-0,25)^2)^{\frac{3}{2}}}{3}| \approx 0,37$  

Die Krümmung ist:

 $\kappa(x) = \frac{3}{(1 + (-0,25)^2)^{\frac{3}{2}}} = 2,74$

Für den Krümmungsmittelpunkt ergibt sich:

$\vec{x_m} = \vec{x} + \frac{1}{\kappa} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$

$\vec{x_M} = (0,5, \ -0,375) + \frac{1}{2,74} \cdot \begin{pmatrix} 0,25 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{0,25^2 + 1^2}} = \begin{pmatrix} 0,58 \\ -0,02 \end{pmatrix}$

Positive Krümmung
Positive Krümmung

Das Krümmungsmaß $\kappa = 2,74$ besagt, dass die Krümmung stärker ist als bei einem Einheitskreis ($\kappa = 1$). Das bedeutet gleichzeitig, dass der Kreis kleiner ist als der Einheitskreis.

Das positive Vorzeichen besagt, dass die Krümmung in Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach links) bzw. dass die Funktion in diesem Punkt konvex ist.