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Krümmung und Torsion im Raum

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Krümmung

Auch im dreidimensionalen Raum ist die Krümmung ein Maß für Abweichung der Kurve $r(t)$ von einer Geraden. Jedoch ist es hier nicht mehr sinnig von einer Links- oder Rechtskrümmung zu sprechen. 

Der Krümmungsbegriff im Raum ist $ |\vec{r}''(s)| = \kappa \ge 0$. 

Bezieht man die Krümmung auf eine allgemeine Parameterdarstellung $\vec{r} = \vec{r}(t) $ so ist

$\kappa = \frac{|\dot{\vec{r}} \ \text{X} \ \ddot{\vec{r}}|}{|\dot{\vec{r}}|^3} $. 

Ist $\kappa = 0$, so ist die Kurve eine Gerade.

Torsion

Die Torsion (oder: Windung)   $\tau$   ist die Abweichung einer Kurve vom ebenen Verlauf. Ist $\tau = 0$, so verläuft die Kurve in einer Ebene.

Die Torsion bestimmt sich nach der Formel:

$\tau = \frac{(\dot{\vec{r}} \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}) \; \cdot \dddot{\vec{r}}}{|\dot{\vec{r}} \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$.

Ableitungen bilden

$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$

$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$

$\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (0, -1, 0)$

Vektorprodukt und Länge berechnen

Für Krümmung:

$\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)  =(0, 1, 1) \; \text{X} \; (-1, 0, 0) = (0, -1, 1)$

$|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$|\dot{\alpha} (t) |^3 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}^3 = \sqrt{2}^3$

Für Torsion:

$(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \cdot \dddot{\alpha} (t)  = (0, -1, 1) \cdot (0, -1, 0) = 1$

$|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)|^2  = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2}^2 = 2$

Krümmung berechnen

$\kappa = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}^3} = \frac{1}{2}$

Torsion berechnen

$\tau = \frac{1}{2}$

Multiple-Choice
Die Torsion im Raum berechnet sich wie folgt:
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Jan Morthorst

Autor: Jan Morthorst

Dieses Dokument Krümmung und Torsion im Raum ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche DifferentialgleichungenHöhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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