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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen - Krümmung und Torsion im Raum

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Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Krümmung und Torsion im Raum

In diesem Kurstext thematiseren wir nacheinander die Krümmung und Torsion im Raum.

Krümmung

Auch im dreidimensionalen Raum ist die Krümmung ein Maß für Abweichung der Kurve $r(t)$ von einer Geraden. Jedoch ist es hier nicht mehr sinnig von einer Links- oder Rechtskrümmung zu sprechen. 

Der Krümmungsbegriff im Raum ist $ |\vec{r}''(s)| = \kappa \ge 0$. 

Bezieht man die Krümmung auf eine allgemeine Parameterdarstellung $\vec{r} = \vec{r}(t) $ so ist

$\kappa = \frac{|\dot{\vec{r}} \ \text{X} \ \ddot{\vec{r}}|}{|\dot{\vec{r}}|^3} $. 

Ist $\kappa = 0$, so ist die Kurve eine Gerade.

Torsion

Die Torsion (oder: Windung)   $\tau$   ist die Abweichung einer Kurve vom ebenen Verlauf. Ist $\tau = 0$, so verläuft die Kurve in einer Ebene.

Die Torsion bestimmt sich nach der Formel:

$\tau = \frac{(\dot{\vec{r}} \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}) \; \cdot \dddot{\vec{r}}}{|\dot{\vec{r}} \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$.

Ableitungen bilden

$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$

$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$

$\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (0, -1, 0)$

Vektorprodukt und Länge berechnen

Für Krümmung:

$\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)  =(0, 1, 1) \; \text{X} \; (-1, 0, 0) = (0, -1, 1)$

$|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$|\dot{\alpha} (t) |^3 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}^3 = \sqrt{2}^3$

Für Torsion:

$(\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)) \; \cdot \dddot{\alpha} (t)  = (0, -1, 1) \cdot (0, -1, 0) = 1$

$|\dot{\alpha} (t) \; \text{X} \; \ddot{\alpha} (t)|^2  = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2}^2 = 2$

Krümmung berechnen

$\kappa = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}^3} = \frac{1}{2}$

Torsion berechnen

$\tau = \frac{1}{2}$