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Kursangebot | Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen | Binormalenvektor im Raum

Höhere Mathematik 2: Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

Binormalenvektor im Raum

Der Binormalenvektor $\vec{b}(t)$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$,

$\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$.

mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve.

Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ auf $\vec{t}_e (t)$ und $\vec{n}(t)$ senkrecht steht. Da $\vec{b}(t)$ und $\vec{n}(t)$ auch senkrecht (orthogonal) zueinander sind und die Länge $1$ aufweisen, bilden die drei Vektoren eine positiv orientierte Orthogonalbasis.

Das bedeutet also, dass alle drei Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Anwendungsbeispiel

Beispiel

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Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor.

Ableitungen bilden

$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Vektorprodukt bilden

$\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

Länge berechnen

$|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)| = \sqrt{ \sin^2 (t) + cos^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$

Binormalenvektor berechnen

$\vec{b}(t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

Orthogonalität

Wie bereits oben erwähnt, steht der Binormalenvektor senkrecht zum Tangenteneinheitsvektor und zum Hauptnormalenvektor.

Der Tangenteneinheitsvektor ist:

$\vec{t}_e (t) = \frac{\dot{\vec{r}} (t)}{|\dot{\vec{r}}(t)|}$

mit  $|\dot{\vec{r}}(t)| = \sqrt{ \sin^2 (t) + \cos^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$

$\vec{t}_e (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}  \sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}  \end{pmatrix}$

Der Hauptnormalenvektor ist:

Einfachere Berechnung über:

$\vec{n} (t) = \vec{b} (t) \; \text{X} \; \vec{t}_e (t)$

$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}  \sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Überprüfung der Orthogonalität der drei Vektoren

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}  \sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

Da die Skalarmultiplikation Null ergibt, stehen die drei Vektoren senkrecht zueinander. 

Merke

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Was bedeutet das Vektorprodukt in diesem Fall? Wenn also alle drei Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander stehen, dann kann man aus zwei der Vektoren durch das Vektorprodukt den dritten Vektor berechnen:

$\vec{b}(t) = \vec{n}(t) \; \text{X} \; \vec{t}_e (t)$

$\vec{n}(t) = \vec{b}(t) \; \text{X} \; \vec{t}_e (t)$

$\vec{t}_e (t) = \vec{n}(t) \; \text{X} \; \vec{b} (t)$

Das Skalarprodukt bedeutet in diesem Fall, dass man durch die Multiplikation der Vektoren miteinander den Vektor Null erhält, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen:

$\vec{b}(t) \; \cdot \; \vec{n}(t) \; \cdot \; \vec{t}_e (t) = 0$