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Binormalenvektor im Raum

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Der Binormalenvektor $\vec{b}(t)$ ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von Tangenteneinheitsvektor $\vec{t}_e (t)$ und dem Hauptnormalenvektor $\vec{n}(t)$,

$\vec{b}(t) = \frac{\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)}{|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)|} = \vec{t}_e (t) \; \text{X} \; \vec{n}(t)$.

mit $\vec{r}(t)$ als Raumkurve.

Das Vektorprodukt $\vec{b}(t)$ zweier Vektoren $\vec{t}_e (t), \; \vec{n}(t) \in \mathbb{R}^3$ hat die Eigenschaft, dass $\vec{b}(t)$ auf $\vec{t}_e (t)$ und $\vec{n}(t)$ senkrecht steht. Da $\vec{b}(t)$ und $\vec{n}(t)$ auch senkrecht (orthogonal) zueinander sind und die Länge $1$ aufweisen, bilden die drei Vektoren eine positiv orientierte Orthogonalbasis.

Das bedeutet also, dass alle drei Vektoren senkrecht zueinander stehen.

Anwendungsbeispiel

Beispiel

Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor.

Ableitungen bilden

$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Vektorprodukt bilden

$\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$

Länge berechnen

$|\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t)| = \sqrt{ \sin^2 (t) + cos^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$

Binormalenvektor berechnen

$\vec{b}(t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ -\cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

Orthogonalität

Wie bereits oben erwähnt, steht der Binormalenvektor senkrecht zum Tangenteneinheitsvektor und zum Hauptnormalenvektor.

Der Tangenteneinheitsvektor ist:

$\vec{t}_e (t) = \frac{\dot{\vec{r}} (t)}{|\dot{\vec{r}}(t)|}$

mit  $|\dot{\vec{r}}(t)| = \sqrt{ \sin^2 (t) + \cos^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$

$\vec{t}_e (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}  \sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}  \end{pmatrix}$

Der Hauptnormalenvektor ist:

Einfachere Berechnung über:

$\vec{n} (t) = \vec{b} (t) \; \text{X} \; \vec{t}_e (t)$

$\vec{n} (t) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \text{X} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}  \sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$

Überprüfung der Orthogonalität der drei Vektoren

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \sin (t) \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}}  \sin (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \cos (t) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} = 0$

Da die Skalarmultiplikation Null ergibt, stehen die drei Vektoren senkrecht zueinander. 

Merke

Was bedeutet das Vektorprodukt in diesem Fall? Wenn also alle drei Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander stehen, dann kann man aus zwei der Vektoren durch das Vektorprodukt den dritten Vektor berechnen:

$\vec{b}(t) = \vec{n}(t) \; \text{X} \; \vec{t}_e (t)$

$\vec{n}(t) = \vec{b}(t) \; \text{X} \; \vec{t}_e (t)$

$\vec{t}_e (t) = \vec{n}(t) \; \text{X} \; \vec{b} (t)$

Das Skalarprodukt bedeutet in diesem Fall, dass man durch die Multiplikation der Vektoren miteinander den Vektor Null erhält, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen:

$\vec{b}(t) \; \cdot \; \vec{n}(t) \; \cdot \; \vec{t}_e (t) = 0$

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Autor: Jan Morthorst

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Jan Morthorst verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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