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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Bestimmte Integrale

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Bestimmte Integrale

Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Fläche unter einem Funktionsgraphen $f(x)$. Das Intervall $[a, b]$  wird dafür in mehrere Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$  zerlegt, um den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen im Intervall  $[a, b]$  zu ermitteln.

Bestimmtes Integral
Bestimmtes Integral

Methode

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Sei $f(x)$ eine auf dem Intervall $[a, b]$ stetige Funktion. Wird das Intervall $[a, b]$ in $n$ gleiche Teilintervalle $[x_i, x_{i + 1}]$ der Länge $\frac{b – a}{n}$ zerlegt, so existiert für $f(x)$ in jedem Teilintervall sowohl ein Maximum $M_i$ als auch ein Minimum $m_i$.

In den Teilintervallen $[x_i, x_{i + 1}]$ gilt also stets: $m_i \le f(x) \le M_i$

Obersumme und Untersumme

Die $\color{blue}{Obersumme}$  berechnet sich wie folgt:

$S_n = \sum\limits_{i = 0}^{n – 1} M_i \frac{b – a}{n}$

Die Obersumme ist die komplette Fläche des Rechtecks. D.h. sowohl der in der obigen Grafik grün gekennzeichnet Bereich, als auch der in der Grafik blau gekennzeichnete Bereich. Die Fläche dieses Rechtecks berechnet sich nach der obigen Formel. Die Summe aus allen Rechtecken ergibt dann die gesamte Obersumme. Allerdings entsteht hier ein kleiner Fehler: Die Obersumme berechnet zu viel (Fläche über dem Graphen).

Die $\color{green}{Untersumme}$ berechnet sich:

$s_n = \sum\limits_{i = 0}^{n – 1} m_i \frac{b – a}{n}$

Die Untersumme hingegen ist nur der mit grün gekennzeichnete Bereich. Die Fläche dieses Rechtecks berechnet sich nach der obigen Formel. Die Summe aus allen Rechtecken ergibt dann die gesamte Untersumme. Allerdings entsteht hier ein ebenfalls ein kleiner Fehler: Die Untersumme berechnet zu wenig. Es fehlt also ein Teil der Fläche.

Fehler beheben

Diese Fehler kann man beheben, indem man unendliche viele Teilintervalle verwendet. Je mehr Rechtecke unter dem Graphen, desto kleiner wird der Fehler. 

Das bedeutet also: Lässt man $n \to \infty$ streben, gehen die Längen der Teilintervalle gegen Null. Ist die Funktion $f(x)$ stetig, so besitzen die Ober- und Untersumme einen gemeinsamen Grenzwert:

$\lim\limits_{n \to \infty} S_n = \lim\limits_{n \to \infty} s_n = I$

Dieser gemeinsame Grenzwert $I$ heißt:

Das Bestimmte Integral von $a$ bis $b$ der Funktion $f(x):   I = \int_a^b f(x) dx$