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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Konkave und konvexe Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Konkave und konvexe Funktionen

Eine reellwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.

Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$

Konvexität
Konvexität

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Sekante durch die beiden Punkte oberhalb des Funktionsgraphen liegt. Dies ist bei dieser Funktion immer der Fall, weshalb diese streng konvex ist.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion $f(x) = -x^2$

Konkavität
Konkavität

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Sekante durch die beiden Punkten unterhalb des Funktonsgraphen liegt. Dies ist bei dieser Funktion immer der Fall, weshalb diese streng konkav ist.

Merke

Merksatz: Eine Funktion ist konkav wie der Rücken vom Schaf.

Definitionen konvexe und konkave Funktion

Eine über einer konvexen Menge $C$ definierte Funktion $F$ heißt konvex, wenn für alle $x$, $y$ aus $C$ sowie $\lambda \in [0,1]$ gilt, dass

Methode

$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) \le \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$      quasikonvexe Funktion


Eine Funktion heißt streng konvex, wenn gilt:

Methode

$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) < \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$       streng konvexe Funktion


Eine über einer konkave Menge $C$ definierte Funktion $F$ heißt konkav, wenn für alle $x$, $y$ aus $C$ sowie $\lambda \in [0,1]$ gilt, dass

Methode

$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) \ge \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$      quasikonkave Funktion


Eine Funktion heißt streng konvex, wenn gilt:

Methode

$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) > \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$       streng konkave Funktion