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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation

Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.

Konkave Funktion

Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.

Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ist.

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R}$ gilt: $F''(x) < 0$.

Das bedeutet also, dass die Funktion streng konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner null ist.

Konvexe Funktion

Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konvex, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R}$ gilt: $F''(x) \ge 0$.

Das bedeutet also, dass die Funktion konvex ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ größer gleich null ist.

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konvex, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R}$ gilt: $F''(x) > 0$.

Das bedeutet also, dass die Funktion streng konvex ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ größer null ist.

Konvexität und Konkavität im Intervall

Eine Funktion kann auch weder konvex noch konkav sein. Dies liegt vor, wenn die 2. Ableitung sowohl negative als auch positive Werte annehmen kann für $x \in X = \mathbb{R}$. Die Funktion kann dann aber innerhalb eines bestimmten Intervalls streng konkav oder streng konvex sein:

Eine Funktion heißt konkav (konvex) auf einem Intervall $I$, wenn die Sekante durch je zwei Punkte $P1$ und $P2$ des Graphen unterhalb (oberhalb) des Graphen liegt.

Die Funktion $F(x)$ sei zweimal stetig differenzierbar auf dem Intervall $I$. Dann gilt:

  1. $F(x)$ ist genau dann konkav auf $I$, wenn $F''(x) \le 0$ für alle $x \in I$

  2. $F(x)$ ist genau dann konvex auf $I$, wenn $F''(x) \ge 0$ für alle $x \in I$

n-dimensionaler Fall

Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X$ gilt: Die Hesse-Matrix $H(x)$ ist negativ semidefinit. Sie ist streng konkav, wenn $H(x)$ negativ definit ist. 

Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konvex, wenn für alle $x \in X$ gilt: Die Hesse-Matrix $H(x)$ ist positiv semidefinit. Sie ist streng konvex, wenn $H(x)$ positiv definit ist. 

Hesse Matrix

$H(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_1} &  \frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_2} & ... & \frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_2} & ... & \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_n} \\ ... & ... & ... & ... \\ \frac{\partial^2 F}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 F}{\partial x_n \partial x_2} & ... & \frac{\partial^2 F}{\partial x_n \partial x_n} \end{pmatrix}$

Methode

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Vorgehensweise zum Nachweis der Konkavität und Konvexität

  1. Bildung der 2. Ableitung. Ist diese < 0, so ist die Funktion streng konkav, sonst streng konvex.
  2. Ist die 2. Ableitung noch abhängig von $x$, so die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen.
  3. Bereiche angegeben und durch Einsetzen kleinerer und größerer Werte in die 2. Ableitung die Konkavität bzw. Konvexität bestimmen.

Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität

Beispiel

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$F(x) = 10x - 4x^2$

$F'(x) = 10 - 8x$

$F''(x) = -8$

$\rightarrow$ streng konkav!

Beispiel

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$F(x) = 8x^3 - 2x^4$

$F'(x) = 24x^2 - 8x^3$

$F''(x) = 48x - 24x^2$


$x$ ausklammern:

$F''(x) = x(48 - 24x)$

Die 2. Ableitung ist noch abhängig von $x$. Es werden die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmt:

$F''(x) = x(48 - 24x) = 0$

$x_1 = 0$

$48 - 24 x = 0$

$x_2 = 2$


Es gelten also die folgenden Bereiche:

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$


Bereich $x < 0$:

Es werden nun Werte kleiner Null in die 2. Ableitung eingesetzt. In diesem Fall wird der Wert $x = -1$ gewählt:

$F''(-1) = -1(48 - 24 \cdot -1) = -72$

Die Funktion ist für den Bereich $x < 0$ streng konkav.


Bereich: $0 < x < 2$:

Es werden nun Werte zwischen Null und Zwei in die 2. Ableitung eingesetzt. In diesem Fall der Wert $x = 1$:

$F''(1) = 1(48 - 24 \cdot 1) = 24$

Die Funktion ist für den Bereich $0 < x < 2$ streng konvex.

Bereich: $x > 2$:

Es werden nun Werte größer Zwei in die 2. Ableitung eingesetzt. In diesem Fall der Wert $x = 3$:

$F''(3) = 3(48 - 24 \cdot 3) = -72$

Die Funktion ist für den Bereich $x > 2$ streng konkav.

Beispiel

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$F(x,y) = xy - x^2 - y^2$

Für den n-dimensionalen Fall (hier 2 dimensional) bedient man sich der Hesse-Matrix. 

$ \frac{\partial F}{\partial x} = y - 2x$

$ \frac{\partial^2 F}{\partial^2 x} = -2$

$ \frac{\partial F}{\partial x} = y - 2x$

$ \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = 1$

$ \frac{\partial F}{\partial y} = x - 2y$

$ \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} = 1$

$ \frac{\partial F}{\partial y} = x - 2y$

$ \frac{\partial^2 F}{\partial^2 y} = -2$

$H(x) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

Die Eigenwerte (siehe Kapitel: Lineare Algebra) müssen bestimmt werden:

$H(\lambda) =  \begin{pmatrix} -2 - \lambda & 1 \\ 1 & -2 - \lambda \end{pmatrix}$


Berechnung:

$H(\lambda) = (-2 - \lambda) \cdot (-2 - \lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 + 4 \lambda + 3$

$p/q$-Formel anwenden:

$\lambda_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$\lambda_{1,2} = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2 - 3} $

$\lambda_1 = -1$

$\lambda_2 = -3$

Beide Eigenwerte der Hessematrix sind negativ, demnach ist die Hessematrix negativ definit. Die Funktion $F(x,y)$ ist demnach streng konkav.