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Eine reellwertige Funktion heißt konvex, wenn ihr Graph unterhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.
Eine reellwertige Funktion heißt konkav, wenn ihr Graph oberhalb jeder Verbindungsstrecke zweier seiner Punkte liegt. Dies ist gleichbedeutend dazu, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, eine konvexe Menge ist.
Beispiel
Gegeben sei die Funktion: $f(x) = x^2$
In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Sekante durch die beiden Punkte oberhalb des Funktionsgraphen liegt. Dies ist bei dieser Funktion immer der Fall, weshalb diese streng konvex ist.
Beispiel
Gegeben sei die Funktion $f(x) = -x^2$
In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Sekante durch die beiden Punkten unterhalb des Funktonsgraphen liegt. Dies ist bei dieser Funktion immer der Fall, weshalb diese streng konkav ist.
Merke
Merksatz: Eine Funktion ist konkav wie der Rücken vom Schaf.
Definitionen konvexe und konkave Funktion
Eine über einer konvexen Menge $C$ definierte Funktion $F$ heißt konvex, wenn für alle $x$, $y$ aus $C$ sowie $\lambda \in [0,1]$ gilt, dass
Methode
$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) \le \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$ quasikonvexe Funktion
Eine Funktion heißt streng konvex, wenn gilt:
Methode
$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) < \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$ streng konvexe Funktion
Eine über einer konkave Menge $C$ definierte Funktion $F$ heißt konkav, wenn für alle $x$, $y$ aus $C$ sowie $\lambda \in [0,1]$ gilt, dass
Methode
$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) \ge \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$ quasikonkave Funktion
Eine Funktion heißt streng konvex, wenn gilt:
Methode
$F(\lambda x + (1 - \lambda) y) > \lambda F(x) + (1 - \lambda) F(y)$ streng konkave Funktion
Im Folgenden wird gezeigt, wie man bestimmt, ob es sich um eine konkave oder konvexe Funktion handelt bzw. keines von beiden vorliegt.
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