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Operations Research 2 - Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit

Kursangebot | Operations Research 2 | Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit

Operations Research 2

Beispiel: Nachweis konvexer/konkaver Funktionen über Differenzierbarkeit

Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beim direkten Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität wird in diesem Abschnitt aufgezeigt, wie man mittels Differentation den Nachweis erbringen kann, ob eine Funktion konkav oder konvex ist.

Konkave Funktion

Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R} $ gilt: $F''(x) \le 0$.

Das bedeutet also, dass die Funktion konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner gleich null ist.

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konkav, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R}$ gilt: $F''(x) < 0$.

Das bedeutet also, dass die Funktion streng konkav ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ kleiner null ist.

Konvexe Funktion

Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konvex, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R}$ gilt: $F''(x) \ge 0$.

Das bedeutet also, dass die Funktion konvex ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ größer gleich null ist.

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist streng konvex, wenn für alle $x \in X = \mathbb{R}$ gilt: $F''(x) > 0$.

Das bedeutet also, dass die Funktion streng konvex ist, wenn die zweite Ableitung der Funktion nach $x$ größer null ist.

Konvexität und Konkavität im Intervall

Eine Funktion kann auch weder konvex noch konkav sein. Dies liegt vor, wenn die 2. Ableitung sowohl negative als auch positive Werte annehmen kann für $x \in X = \mathbb{R}$. Die Funktion kann dann aber innerhalb eines bestimmten Intervalls streng konkav oder streng konvex sein:

Eine Funktion heißt konkav (konvex) auf einem Intervall $I$, wenn die Sekante durch je zwei Punkte $P1$ und $P2$ des Graphen unterhalb (oberhalb) des Graphen liegt.

Die Funktion $F(x)$ sei zweimal stetig differenzierbar auf dem Intervall $I$. Dann gilt:

  1. $F(x)$ ist genau dann konkav auf $I$, wenn $F''(x) \le 0$ für alle $x \in I$

  2. $F(x)$ ist genau dann konvex auf $I$, wenn $F''(x) \ge 0$ für alle $x \in I$

n-dimensionaler Fall

Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konkav, wenn für alle $x \in X$ gilt: Die Hesse-Matrix $H(x)$ ist negativ semidefinit. Sie ist streng konkav, wenn $H(x)$ negativ definit ist. 

Eine zweimal stetig differenziebare Funktion ist konvex, wenn für alle $x \in X$ gilt: Die Hesse-Matrix $H(x)$ ist positiv semidefinit. Sie ist streng konvex, wenn $H(x)$ positiv definit ist. 

Hesse Matrix

$H(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_1} &  \frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_2} & ... & \frac{\partial^2 F}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_2} & ... & \frac{\partial^2 F}{\partial x_2 \partial x_n} \\ ... & ... & ... & ... \\ \frac{\partial^2 F}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 F}{\partial x_n \partial x_2} & ... & \frac{\partial^2 F}{\partial x_n \partial x_n} \end{pmatrix}$

Beispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$F(x) = 10x - 4x^2$

$F'(x) = 10 - 8x$

$F''(x) = -8$

$\rightarrow$ streng konkav!

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$F(x) = 8x^3 - 2x^4$

$F'(x) = 24x^2 - 8x^3$

$F''(x) = 48x - 24x^2$


Umformen:

$F''(x) = 24x(2 - x)$

Die zweite Ableitung kann sowohl größer als auch kleiner null werden. Demnach ist die Funktion weder konvex noch konkav. Es kann aber ein Intervall angegeben werden, innerhalb welchem die Funktion konkav bzw. konvex ist. 

Wird die 2. Ableitung negativ, so ist die Funktion konkav:

$(-\infty, 0)$, $(2, \infty)$

Wird die 2. Ableitung positiv, so ist die Funktion konvex:

$(0,2)$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$F(x,y) = xy - x^2 - y^2$

Für den n-dimensionalen Fall (hier 2 dimensional) bedient man sich der Hesse-Matrix. 

$ \frac{\partial F}{\partial x} = y - 2x$

$ \frac{\partial^2 F}{\partial^2 x} = -2$

$ \frac{\partial F}{\partial x} = y - 2x$

$ \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = 1$

$ \frac{\partial F}{\partial y} = x - 2y$

$ \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} = 1$

$ \frac{\partial F}{\partial y} = x - 2y$

$ \frac{\partial^2 F}{\partial^2 y} = -2$

$H(x) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

Die Eigenwerte müssen bestimmt werden:

$H(\lambda) =  \begin{pmatrix} -2 - \lambda & 1 \\ 1 & -2 - \lambda \end{pmatrix}$


Berechnung:

$H(\lambda) = (-2 - \lambda) \cdot (-2 - \lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 + 4 \lambda + 3$

$p/q$-Formel anwenden:

$\lambda_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$\lambda_{1,2} = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2 - 3} $

$\lambda_1 = -1$

$\lambda_2 = -3$

Beide Eigenwerte der Hessematrix sind negativ, demnach ist die Hessematrix negativ definit. Die Funktion $F(x,y)$ ist demnach streng konkav.